Динамические характеристики элементов и систем

Динамическая характеристика элемента или системы называется временной по какому-либо внешнему воздействию (f или g), если на вход этого элемента или системы, которые находились в покое, подается воздействие, изменяющееся по определенному закону. Если на вход звена или системы подается единичная ступенчатая функция, то временная характеристика h(t) называется переходной (рис. 3.3а). Если на вход элемента или системы подается дельта-функция d (t), то временная характеристика называется импульсной, или функцией веса w(t) (рис. 3.3 б).

Если элемент обладает инерцией, то его выходная величина нарастает постепенно и степень инерционности оценивается величиной постоянной времени Т, которая определяется путем проведения касательной к кривой разгона до пересечения с линией установившегося значения y _н выходной величины. Переходный процесс может быть монотонным (рис. 3.3 а, кривая 2) и колебательным затухающим (кривая 1), с постоянной (собственной) частотой f _o =1/T _o, где Т _о — период колебаний с непрерывно убывающей амплитудой. Время t _п называется длительностью переходного процесса.

При подаче на вход элемента или системы гармонического сигнала заданной амплитуды и частоты выходной сигнал будет изменяться с той же частотой, но с другими амплитудой и сдвигом, по фазе (рис. 3.3. в). Динамическая характеристика в этом случае называется частотной.

Рис.3.3.

Различают следующие частотные характеристики: амплитудную частотную АЧХ (рис. 3.4 а), фазовую частотную ФЧХ (рис. 3.4 б) и амплитудно-фазовую частотную АФЧХ (рис. 3.4 в). Частотные характеристики более удобны при оценке установившихся режимов, так как гармонические cигналы передаются линейными элементами и системами без искажения и могут быть легко получены экспериментально.

Рис.3.4.

Для оценки динамических свойств элементов и систем также используют логарифмическую амплитудную (ЛАХ) и логарифмическую фазовую (ЛФХ) характеристики. Логарифмическая амплитудная характеристика L(a) определяется по формуле

L(w) = 20lgA(w)

При построении ЛАХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе и на отметке, соответствующей значению lg(w), пишут не lg(w), a w. Единицей измерения частоты является декада. По оси ординат откладывают значение l(w). Единицей измерения l(w) является децибел (дБ).

Вопрос 6. Математическое описание элементов автоматики.

Для анализа и расчёта АСР необходимо иметь математическое описание (математическую модель) объекта управления. Получение математического описания объекта управления, в определённом смысле математической модели по реализации его входных и выходных сигналов, называется его идентификацией.

Применение общих методов описания объектов в теории уп­равления приводит в простейшем случае к представлению на нижнем уровне процесса в виде одномерного объекта (рис. 1), на входе которого действует переменная x(t), характеризующая какое-либо свойство сырья или параметр, а на выходе — пере­менная у (t), характеризующая какое-либо свойство объекта или выходной показатель процесса.

Рис.1 Блок-схема одномерного объекта управления

Проблема индентификации таких объектов в целях построения систем автоматического управления заключается в опреде­лении статических и динамических характеристик в виде адек­ватных математических моделей в рабочем диапазоне.

Современные методы идентификации используют сочетание аналитического и экспериментальных методов. Это связано с тем, что чисто аналитический подход во многих случаях не обес­печивает получение математической модели, в достаточной сте­пени соответствующей реальному объекту управления. Поэтому комбинированный подход, когда общий вид математического опи­сания определяется аналитически, а значения коэффициентов, соответствующих конкретному объекту управления, — экспери­ментально, наиболее эффективен. Для сложных объектов задачи идентификации решаются с использованием ЭВМ, что значитель­но расширяет возможности аналитического и экспериментальных методов на стадии отработки и проверки соответствия математи­ческой модели.

Аналитический метод построения математического описания в статике и динамике не требует особых пояснений. Ис­пользуя известные физические, химические, механические и дру­гие закономерности, по которым осуществляются процессы, со­ставляют уравнения, устанавливающие взаимосвязь выходных и входных переменных объекта в стационарных условиях (не зави­сящих от времени), и уравнения, устанавливающие зависимость изменения во времени выходной величины от заданного измене­ния входного воздействия.

Экспериментальные методы базируются на исполь­зовании специальных приемов активного и пассивного экспери­мента, облегчающих получение необходимых зависимостей на реальном технологическом процессе в условиях производства. Активный эксперимент предусматривает нанесение скачкообраз­ных изменений входной величины в пределах, допустимых техно­логическим регламентом. Наибольшее применение для исследо­вания статических характеристик получили классический метод активного эксперимента и метод факторного планиро­ванного эксперимента. Для исследования динамиче­ских характеристик объекта управления применяют методы вре­менного анализа.

Пассивные экспериментальные методы применяются при опре­делении как статических, так и динамических характеристик на базе корреляционного и регрессионного анализа данных нормальной эксплуатации промышленного объекта.

Временной метод практически сводится к эксперимен­тальному снятию переходной характеристики или кривой разго­на по каналу управления. Для пояснения метода на рис. 2 приведена схема оснащения исследуемого объекта измеритель­ными приборами, позволяющими измерять вносимые изменения входной и выходных величин. При проведении эксперимента особое внимание обращают на синхронизацию регистрации входной и выходной величин. В начале эксперимента объект приводят в установившееся состояние. После этого изменяют скачкообразно входную величину на Dх=10¸15% максималь­но допустимого значения входной величины. Эксперимент счи­тается законченным, когда выходная величина достигнет нового установившегося значения для объектов с самовыравниванием либо когда устанавливается постоянная скорость изменения вы­ходной величины в случае исследования объекта без самовы­равнивания. Для каждой точки опыты повторяют не менее двух — четырех раз.

Рис. 2. Схема оснащения исследуемого объекта измерительными приборами (H₁, И₂,..., И_n — измерительные приборы, P – регистратор)

На рис. 3 а приведена кривая разгона, полученная экспериментально для объек­та, обладающего самовыравниванием, и показана графически «методом касательной» возможность определения параметров tо и То. Коэффициент передачи получают из соотношения

Рис. 3. Определение по кривым разгона динамических параметров объекта:

а — статического; б — астатического

На рис. 3,б по кривой разгона для объекта без самовыравнивания показано графическое определение запаздывания t_о, а параметры k₀ и Т находят из соотношений

, Т ₀=1/ k ₀

Рассмотрим аналитический метод математического описание элементов автоматики.

Состояние любого динамического звена может быть охарактеризовано совокупностью соответствующих физических величин (скоростей перемещений, напряжений, токов и т. д.). Поскольку размерности этих величин различны, то их представляют обобщенными координатами. Порядок составления дифференциальных уравнений состоит в следующем:

1) определяются входная и выходная величины и действующие на них факторы;

2) выбирается начало отсчета;

3) выявляется и используется основной физический закон, определяющий связь между входной и выходной величинами. В механике, например, это законы Ньютона, в электротехнике - Кирхгофа и т. п.

Математическое описание физического закона связи входной и выходной величин в динамическом состоянии и является исходным дифференциальным уравнением. Рассмотрим порядок составления уравнений на примере.

Пример. Найти дифференциальное уравнение для гидравлического демпфера (рис. 4.1), если пренебречь влия­нием массы m подвижных частей и принять за входную величину силу F, а за выходную — перемещение поршня у, т. е. y=f(F). Очевидно, что для нахождения этой зависимости следует использовать третий закон Ньютона и записать, что F = åР = Р_д +P_тр+ P_и + P_в.

Силами инерции Р _и, трения P _тр и сопротивления от веса P _в подвижных частей пренебрегаем ввиду их малости. Тогда действующая сила F будет равна только силе гидравлического сопротивления Рд, т. е.

где с— коэффициент демпфирования. С учетом массы подвижных частей, т. е. силы инерции уравнение движения поршня будет иметь вид

После записи дифференциального уравнения вводят те или другие упрощения. Прежде всего исключаются факторы, мало влияющие на энергетические и другие свойства динамического звена, а также параметры, значения кото­рых поддерживаются постоянным естественным путем или за счет работы других звеньев системы. Тогда обоб­щенное уравнение звена можно представить в таком виде:

где L —величина (оператор), характеризующая собственные свойства звена.

В теории автоматического управления кроме дифференциальных уравнений широко используются передаточные функции, временные и частотные характеристики. Последние отличаются наглядностью и возможностью экспериментального определения.

Передаточной функцией звена (третья форма записи дифференциальных уравнений) по какому-либо внешнему воздействию называется отношение преобразования Лапласа выходной величины звена к преобразованию Лапласа рассматриваемого внешнего воздействия. При этом все другие воздействия полагаются равными нулю.

Следовательно, для звена с одной выходной величиной число передаточных функций равно числу внешних воздействий:

— по входной величине (задающему воздействию);

— по возмущению (возмущений может быть несколько).

В этих выражениях р - комплексная переменная. Изображение приведенных функций по Лапласу

Практическая ценность операционного исчисления состоит в том, что дифференцированию и интегрированию оригиналов соответствуют простейшие операции умножения и деления их изображений на р.

Передаточная функция может быть легко получена из записи дифференциального уравнения в символьной форме, для чего формально надо разделить многочлен (множитель) символической формы записи правой части на многочлен символьной формы левой части.

- по входной величине;

- по возмущению.

Многочлен, фигурирующий в знаменателе передаточной функции звена, называется характеристическим полиномом этого звена, а уравнением D (p)=0 – характеристическим уравнением звена..

Системы автоматического управления и многие сложные элементы состоят из некоторого числа соединенных между собой динамических звеньев. Наиболее простыми и часто встречающимися (типовыми) соединениями звеньев являются (при этом имеется в виду разомкнутая цепь звеньев): последовательное, параллельное, встречно-параллельное или соединение с обратной связью.

Вопрос 7. Типовые динамические звенья

Разбиение САУ на элементы осуществляется не по функциональному или конструктивному признаку, а по их динамическим свойствам, т. е. САУ разбиваются на динамические звенья. Под динамическим звеном понимается устройство любой физической природы, конструкции, но описываемое дифференциальным уравнением определенного вида.

Рассмотрим некоторые из наиболее часто встречающихся типовых динамических звеньев.

Безынерционное (идеальное) звено. Безынерционным называется звено, у которого передача сигнала со входа на выход передается мгновенно (большинство датчиков, усилители, редукторы и др.). Это звено как в статике, так и в динамике выражается дифференциальным уравнением нулевого порядка

у = kx.

Если на вход такого звена подать скачкообразное воздействие, на выходе получим такое же изменение сигнала (без запаздывания, если не учитывать инерционность), но увеличенное в k раз (рис. 4.4 б).

Звено нулевого порядка может обладать и некоторым временным (чистым) запаздыванием t (рис.4.4 в). Уравнение динамики такого звена имеет вид

y=-kx(t—t).

Такие звенья часто встречаются в машинах и механизмах сельскохозяйственного назначения (транспортеры, водонапорные емкости с подводом воды под уровнем жидкости и др.). Передаточная функция такого звена имеет вид W (р) = ke^-рt. Например, передаточная функция для транспортера при рабочей длине l и скорости v его перемещения W (р) =- е^-lv/p, где t = l/v — время запаздывания.

Апериодическое звено 1-го порядка. Апериодическим звеном 1-го порядка называется звено (любое устройство), описываемое дифференциальным уравнением вида

где Т — постоянная времени; k — коэффициент усиления.

Для неустойчивого апериодического звена дифференциальное уравнение имеет вид

Выходная величина звена первого порядка у при скачкообразном изменении входной величины х. начинает изменяться с некоторой максимальной скоростью с последующим постепенным уменьшением до нуля.

Рис.4.4

Примерами апериодических звеньев первого порядка могут быть RС— цепи (четырехполюсники), LR— цепи, магнитные усилители, электрические печи, термопары, термобаллоны, термобиметаллические датчики, двигатели любого типа (электрические, пневматические), резервуары с газом, емкости с водой, гидравлические и пневматические датчики, гидравлические демпферы с учетом сил инерции и т. п.

Апериодическое звено 2-го порядка. Апериодическим звеном 2-го порядка называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением вида

где Т₂ — постоянная времени, характеризующая затухание собственных колебаний звена; Т₁ — постоянная времени, характеризующая период колебаний. При этом предполагается, что Т₁>2Т₂.

Апериодическое звено второго порядка эквивалентно последовательному соединению двух апериодических звень­ев первого порядка с передаточной функцией

где

Апериодическое звено второго порядка можно представить как параллельное соединение двух звеньев первого порядка с передаточными функциями

Примерами апериодических звеньев второго порядка могут быть двигатели постоянного тока с независимым возбуждением, если за входную величину принять напряжение на зажимах якоря, а за выходную — скорость вра­щения вала; пневматический исполнительный механизм, центробежный регулятор, электрические RCRC и LRLR — цепи, гидравлический усилитель с жесткой обратной связью и др.

Колебательное звено может быть получено из апериодического второго порядка, если T ₁ <2T ₂. Обычно это звено описывается уравнением вида

, где 0 < e < 1.

Примерами колебательного звена могут быть RLC — цепи, гироскопы, если входной величиной является момент, а выходной — угол поворота; мембранные исполнительные механизмы и т. д.

Интегрирующие звенья

Интегрирующим звеном (астатическим) называют такое устройство, у которого скорость изменения выходной величины пропорциональна входной, т. е. при неизменном значении входной выходная величина может неограниченно возрастать или убывать.

Работа интегрирующих звеньев описывается дифференциальным уравнением вида

С (р)у = (k/p)х или ,

где С(р) — любой полином, удовлетворяющий условию С (0)=1.

В интегрирующих звеньях в установившемся режиме имеет место линейная зависимость между входной величиной и производной выходной величиной.

Интегрирующие звенья делятся на идеальные, с замедлением и изодромные 1-го и 2-го порядков. В системах автоматического регулирования такие звенья используются для повышения порядка астатизма.

Идеальное интегрирующее звено. Любое устройство называется идеальным интегрирующим звеном, если оно описывается дифференциальным уравнением вида

или ру(р) = kx (р).

Передаточная функция звена

W(p)=k/p.

Коэффициент k называется коэффициентом усиления или передачи звена по скорости. Он численно равен скорости изменения выходной величины при единичном значении входной. Если входная и выходная величина имеют одинаковую размерность, то из дифференциального уравнения следует, что коэффициент k имеет размерность с^-1. В этом случае дифференциальное уравнение удобнее записывать в виде

где Т = 1/k.

В этом случае передаточная функция звена примет вид

W(p)=1/Тр

Величина Т называется постоянной времени интегрирующего звена. Примерами идеальных интегрирующих звеньев могут быть: операционный усилитель в режиме интегрирования; гидравлический демпфер без учета сил инерции; гидравлический исполнительный механизм без учета сил трения и инерции; электрический конденсатор, если за выходную величину принять напряжение на конденсаторе; индуктивность, если входной величиной является магнитный поток в катушке; вращающийся вал и др. Интегрирующие звенья входят в состав П-, ПИ- и ПИД-регуляторов.

Интегрирующее звено с замедлением. Звено любой физической природы называется интегрирующим звеном с замедлением или интегрирующим инерционным, если оно описывается дифференциальным уравнением вида

Передаточная функция такого звена имеет вид

Примерами этих звеньев могут быть: гидравлический демпфер с учетом массы подвижных частей, колесный трактор при вождении по следу маркера, двухфазный асинхронный двигатель, если входной величиной является напряжение на обмотке управления, а выходной — угол поворота выходного вала.

Дифференцирующие звенья

Дифференцирующим звеном называется такое звено, которого в установившемся режиме выходная величин пропорциональна производной по времени от входной величины, т. е.

Дифференцирующие звенья делятся на идеальные, дифференцирующие инерционные (с замедлением), форсирующие идеальные 1-го порядка, форсирующие идеальные 2-г порядка.

Идеальное звено. Звено любой физической природы описываемое дифференциальным уравнением вида y=kpx называется идеальным дифференцирующим звеном.

Передаточная функция этого звена W(p)=kp. Примерами идеальных дифференцирующих звеньев могут быть: тахогенератор постоянного тока, если входной величиной является угол поворота ротора, а выходной — величина ЭДС якоря, двухстепенной гироскоп для измерения угловых скоростей объектов при пренебрежении инерционностью и силами вязкого трения, действующими относительно оси прецессии и др.

Идеальные дифференцирующие звенья широко используются в корректирующих устройствах САУ.

Дифференцирующее инерционное звено. Звено называется дифференцирующим с замедлением, если оно описывается дифференциальным уравнением вида

.

Примерами дифференцирующего звена с замедлением могут быть: CR и RL -цепи, трансформаторы, гидравлические демпферы с пружиной и др.