Числовые и степенные ряды

Определение числового ряда, сходимость. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда. Геометрический ряд, гармонический ряд, их сходимость.

Признаки сходимости положительных числовых рядов: признак Д’Аламбера, признак Коши, интегральный признак сходимости.

Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Определение степенного ряда. Радиус сходимости, интервал сходимости, область сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Ряд Тейлора, ряд Маклорена для функции. Ряд Маклорена для функций е^х, ln (1 + x), sin x, cos x. Приложения степенных рядов.

Примерный перечень вопросов к экзамену по разделу
“Основы математического анализа”

1. Понятие функции одной переменной. Основные характеристики функций: области определения и значений, периодичность, максимумы, минимумы, экстремумы.

2. Основные элементарные функции и их свойства.

3. Предел функции в точке. Типы пределов.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

5. Основные правила вычисления пределов. Замечательные пределы.

6. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва.

7. Производная функции и ее смысл.

8. Правила дифференцирования функций.

9. Производные основных элементарных функций.

10. Производные высших порядков.

11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

12. Дифференциал функции и его связь с производной.

13. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

14. Общая схема построения эскизов графиков функций.

15. Понятие функции нескольких независимых переменных. Предел
и непрерывность.

16. Частные производные функций нескольких независимых переменных.

17. Полный дифференциал и его связь с частными производными.

18. Экстремумы функций 2-х и более переменных. Необходимые
и достаточные условия.

19. Неопределенный интеграл и его свойства.

20. Неопределенные интегралы от основных элементарных функций.

21. Замена переменной в неопределенном интеграле.

22. Интегрирование по частям.

23. Интегрирование рациональных функций.

24. Интегрирование иррациональных функций.

25. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

26. Определенный интеграл и его свойства.

27. Формула Ньютона-Лейбница.

28. Замена переменной и интегрирование по частям определенного интеграла.

29. Понятие несобственного интеграла, Приложение к решению геометрических и экономических задач.

30. Понятие решения обыкновенного дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши.

31. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

32. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

33. Сходящиеся числовые последовательности и их свойства.

34. Числовые ряды. Признаки сходимости.

35. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости.

36. Ряды Тейлора и Маклорена.

37. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

38. Приложение степенных рядов к решению некоторых экономических задач.

Рекомендуемая литература

1. Самаль С. А. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник для студентов экономических специальностей ВУЗов / Под общ. ред. С. А. Са-
маля. – Мн.: Выш. шк., 2000.

2. Высшая математика. Общий курс / Под общ. ред. проф. А. И. Яблонского. – Мн.: Выш. шк. 1993.

3. Ведина О. И., Десницкая В. Н., Варфоламеева Г. Б., Тарасюк А. Ф. Математика. Математический анализ для экономистов: Учебник / Под ред. докт. физ.-мат. наук, проф. А. А. Гриба и к.т.н., доцента А. Ф. Тарасюка. – М.: “Фиминъ”, 2000.

4. Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика: Основы аналитической геометрии и линейной алгебры. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учебник. – Мн.: Выш. шк., 1992.

5. Гусак А. А. Высшая математика: В 2 т. – Мн.: Университетское, 1993.

6. Гусак А. А. Задачи и упражнения по высшей математике: В 2 ч. – Мн.: Выш. шк., 1988. – Ч. 1, 2.

7. Сухая Т. А., Бубнов В. Ф. Задачи по высшей математике: Учебное пособие: В 2 ч. – Мн.: Выш. шк., 1993. – Ч. 1, 2.

8. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учебное пособие: В 3 ч. / Рябушко А. П. и др. – Мн.: Выш. шк., 1991.

III. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Контрольная работа № 2 по разделу “Основы математического анализа” для студентов заочного обучения включает в себя 7 задач по 10 вариантов каждая. Студент-заочник по своему учебному номеру выбирает нужный вариант каждой задачи.

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без их соблюдения, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Варианты решаемых задач должны соответствовать вариантам
задач, указанных в табл. 1. Студент должен выбрать в этой таблице по своему учебному номеру нужный вариант каждой задачи. Работы, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не засчитываются.

2. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради с оставлением поля для замечаний рецензента.

3. Образец оформления титульного листа контрольной работы приведен в Приложении 3.

4. Решение задач следует располагать в порядке возрастания их номеров, дополнительно указывая в скобках номер варианта.

5. Перед решением каждой задачи необходимо полностью выписать ее условие, заменив буквенные обозначения числовыми данными, соответствующими своему варианту.

6. Все основные этапы решения задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями, делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, как зачтенной, так и не зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты в этой тетради.

8. В случае незачета контрольной работы вся работа должна быть выполнена заново, если отсутствует указание рецензента на исправление отдельных задач, и отправлена на повторное рецензирование.

9. В конце работы должен быть приведен список используемой литературы. Работа должна быть подписана студентом. Контрольная работа должна быть сдана на проверку за 10 дней до начала очередной сессии.

Таблица 1

Выбор вариантов решения задач