Краткие теоретические сведения. Цель работы. Изучить основные закономерности свободных колебаний физического маятника, научиться определять характеристики оборотного маятника

Лабораторная работа № 4

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Цель работы. Изучить основные закономерности свободных колебаний физического маятника, научиться определять характеристики оборотного маятника.

Приборы и принадлежности. Лабораторная установка «Оборотный маятник», секундомер.

Краткие теоретические сведения

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой, невесомой нити и совершающая колебания вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести (рис. 1).

И физический и математический маятники относятся к классу гравитационных маятников и являются механическими колебательными системами с одной степенью свободы. Выберем в качестве координаты угол a отклонения маятника из положения равновесия

Рис. 1

Основной закон динамики вращательного для движения маятника, выведенного из положения равновесия и предоставленного самому себе, без учета сил трения имеет вид

(1)

где J и М – момент инерции маятника и момент силы тяжести, приложенной к центру тяжести С маятника, относительно оси подвеса О; e – угловое ускорение маятника.

Для момента силы тяжести (рис. 1) справедливо выражение

M = - mgl_С sin a = -mgl_Сa, (2)

где m – масса маятника; g – ускорение силы тяжести; l_С – расстояние от оси подвеса до центра тяжести маятника; a – угол отклонения маятника от положения равновесия, при малых углах отклонения sina» a. Знак минус означает, что момент силы тяжести противодействует увеличению угла a и является в данной системе восстанавливающим моментом силы.

Угловое ускорение есть вторая производная от угла по времени

. (3)

Уравнение (1), с учетом выражений (2) и (3), после преобразований примет вид дифференциального уравнения гармонических колебаний:

. (4)

Решением дифференциального уравнения (4) является кинематическое уравнение движения вида

, (5)

согласно которому маятник совершает незатухающие гармонические колебания с амплитудой А, начальной фазой j₀, циклической частотой и периодом колебаний

, (6)

где приведенная длина физического маятника

. (7)

Физическому маятнику можно поставить в соответствие эквивалентный (по периоду колебаний) математический маятник. Для математического маятника момент инерции I = ml ², где l – длина нити математического маятника, и период колебаний определяется выражением

, (8)

Из сопоставления выражений (6) и (8) следует, что если l = L_пр то Т _м = Т. Поэтому для характеристики свойств физического маятника пользуются понятием приведенной длины L _пр.

Приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника, имеющего одинаковый с физическим маятником период колебаний.

Характерная точка К физического маятника,лежащая на расстоянии приведенной длины L _пр от оси вращения, на прямой, проходящей через точку подвеса и центр тяжести, называется центром колебания ( или центром качания) физического маятника (см. рис. 1). Центр колебания не совпадает с центром тяжести. Центр колебания (K) и точка подвеса (О) всегда расположены по разные стороны от центра тяжести (С). Если точку подвеса физического маятника поместить в центр колебания, то его период не изменится, и точка подвеса станет центром колебания, то есть точки подвеса и колебания обратимы.

Покажем, что приведенная длина равна расстоянию между двумя точками – подвеса и колебания, подвешивание в которых приводит к совпадению периодов колебаний физического маятника.

Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции маятника относительно оси подвеса

, (9)

где J_С – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси подвеса.

Выражение для приведенной длины с учетом (9) перепишем в виде

, (10)

откуда следует, что L _пр всегда больше l_С.

Из уравнения (10) находим

. (11)

Приведенная длина перевернутого маятника равна (см. рис. 1).

, (12)

Воспользовавшись (11), из уравнения (12) получаем

.

Данный результат свидетельствует, что приведенная длина не изменилась, период колебаний (см. формулу (6)) тоже не изменился. Это свойство обратимости используется в данной лабораторной работе для определения приведенной длины.