Пример решения задачи симплексным методом

Торговое предприятие, располагающее материально-денежными ресурсами, реализует три группы товаров А, В и С. Плановые нормативы затрат ресурсов на тыс, руб. товарооборота, прибыль от продажи товаров на тыс. руб. товарооборота, а также объем ресурсов заданы в таблице 2.

Определить плановый объем продажи и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

1. Запишем математическую модель задачи.

Определить =(x₁, x_2, x₃), который удовлетворяет условиям

и обеспечивают максимальное значение целевой функции .

Таблица 2

Виды материально-денежных ресурсов	Норма затрат материально-денежных ресурсов на ед. товарооборота, тыс. руб.	Объем ресурсов b1
	А группа	В группа	С группа
Рабочее время продавцов, чел/ч	0,1	0,2	0,4
Площадь торговых залов, м2	0,05	0,02	0,02
Площадь складских помещений. м2
Прибыль, т.руб.				max

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений.

В матрице этой системы уравнений А=(а_ij) имеет:

векторы А₄,А₅,А₆ - линейно независимы, так как определитель, составленный из компонент этих векторов, отличен от нуля:

Соответствующие этим векторам переменные х₄,.х₅.х₆ будут базисными.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных

Функцию цели запишем в виде:

=0-(-3x₁-5x₂-4x₃).

2. Полагая, что свободные переменные x₁=0, х₂=0, х₃=0, полупим первый опорный план =(0,0,0,1100,120,8000), F()=0, в котором базисные переменные х₄=1100, х₅=120, х₆=8000, следовательно товары не продаются и прибыль равна нулю, а ресурсы не используются.

Заносим первый опорный план 1 в симплексную таблицу 3.

3. Первый опорный план 1 не оптимальный, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты - -3,-5,-4.

За ведущий столбец выберем столбец, соответствующий временной х₂, так как сравнивая по модулю имеем: |5|>{|3|, |4|} Рассчитываем значения 0 по строкам, как частное от отделения и выбираем наименьшее:

Симплексная таблица 3

План	Базисные переменные	Ресурсы план	Значения коэффициентов переменных при
х1	х2	х3	х4	xs	х6
I план	x4 x5 x6	1100 120 8000	0,1 0,05 3	0,2 0,02	0,4 0,02 2				5500 6000 8000
Индексная строка			-3	-5	-4
II план	х2 x5 x6	5500 10	0,5 0,04 2,5		-0,02	–0,1 -5
Индексная строка			-0,5
III план	х2 х1 х6	5 375			2,25 -0,5 1,25	6,25 -2,5 1,25	-12,5 -62,5
Индексная строка		27 625			5,75	23,75	12,5

Следовательно, первая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен 0,2 и находится на пересечении следующего столбца и ведущей строки и выделен кругом.

5. Формируем следующую симплексную таблицу. Вместо переменной х₄ в план II войдет переменная х₂. Строка, соответствующая переменной х₂ в плане II, получена в результате деления всех элементов строки х₄ плана I на разрешающий элемент РЭ=0,2. На месте разрешающего элемента в плане II получаем 1. В остальных клетках столбца х₂ плана II записываем нули.

Таким образом в новом плане II заполнены строки х₂ и столбец х₂. Все остальные элементы нового плана II, включая элементы индексной строки определяется по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана 4 числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ=0,2. Во второй вершине по диагонали находится старое значение элемента например, значение целевой функции F(K,)=0=C3, которое указывает на место расположение нового НЭ в новом плане II. Третий элемент А=1100 и четвертый элемент В=-5 завершают построение прямоугольника в недостающих двух вершинах и расположены по другой диагонали. Значение нового элемента в плане II находится из выражения:

Элементы строки определяются аналогично:

Все элементы, расположенные на пересечении строк и столбцов, соответствующих одноименным базисным элементам равны 1, остальные элементы столбца в базисах векторов, включая индексную строку, равны 0. Аналогично проводятся расчеты по всем строкам таблицы, включая индексную.

Выполняя последовательно все этапы алгоритма, формируем план II.

6. На третьей итерации таблицы 3 получаем план III, который является оптимальным, так как все коэффициенты в индексной строке ≥0.

Оптимальный план можно записать так:

=(250,5375,0,0,0,1875), =27625 тыс. руб.

Следовательно, необходимо продавать товаров первой группы А 250 ед., а второй группы В - 5375 ед. При этом торговое предприятие получает максимальную прибыль в размере 27625 тыс. руб. Товары группы С не реализуются.

В оптимальном плане среди базисных переменных находится дополнительная переменная х₆. Это указывает, что ресурсы третьего вида (площадь складских помещений) недоиспользована на 1875 м². так как переменная х₆ была введена в третье ограничение задачи, характеризующее собой использование складских помещений.

В индексной строке оптимального плана в столбцах переменных х₃, х₄, х₅ не вошедших в состав базисных, получены ненулевые элементы, поэтому оптимальный план задачи Линейного программирования является единственным.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие задачи линейного программирования можно решать симплексным методом?

2. Каков признак оптимальности в симплексном методе?

3. Как строится первый опорный план?

4. Как определяется ведущий столбец и ведущая строка симплексной таблицы?

5. Как осуществляется пересчет элементов симплексной таблицы?

6. Каковы особые случаи при реализации симплексного метода?