Решение. Для вычисления вероятности события применим интегральную теорему Муавра – Лапласа

Для вычисления вероятности события применим интегральную
теорему Муавра – Лапласа.

.
Искомая вероятность будет

.

По таблицам функции находим, что

, .

Искомая вероятность равна

.

Варианты заданий для контрольной работы № 6

Задача 1

1. Случайная величина – число попаданий в корзину при одном броске. Вероятность попадания равна 0,3. Найти .

2. Случайная величина – число попаданий мячом в корзину при двух бросках. Вероятность попадания равна 0,4. Найти .

3. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Случайная величина – число отказавших элементов в одном опыте. Найти .

4. Дискретная случайная величина – число мальчиков в семьях с четырьмя детьми. Рождение мальчика и девочки считаются равновероятными. Найти вероятности событий: , , .

5. Производится опытов по схеме Бернулли. Вероятность «успеха» в каждом опыте равна . Случайная величина – число «неудач» в – опытах. Построить график функции распределения при =5, =0,5.

6. В урне 5 белых и 25 чёрных шаров. Вынимается один шар. Случайная величина – число вынутых белых шаров. Найти .

7. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлены три светофора, дающие независимо друг от друга зелёный сигнал в течение 1,5 мин., жёлтый – в течение 0,3 мин., красный – в течение 1,2 мин. Случайная величина – число остановок автомобиля на этой улице. Найти .

8. В коробке имеется 7 карандашей, из которых 4 красные. Из коробки извлекают три карандаша. Случайная величина – число красных карандашей в выборке. Найти вероятность события и .

9. На пути движения автомобиля расположены 4 светофора. Каждый из них, с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает движение. Случайная величина – число светофоров, встреченных машиной до первой остановки. Найти .

10. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Случайная величина – число проб при открывании замка; испробованный ключ более не используют. Найти .

11. В ящике лежат – изделий, из которых одно бракованное. Из ящика извлекают изделия одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. Случайная величина – число вынутых изделий. Найти .

12. Выбирают по одной букве из слов день и ночь. Случайная величина равна 1, если обе буквы гласные; =0, если буквы согласные; в остальных случаях. Найти .

13. Производится два независимых выстрела по мишени. Случайная величина – разность между числом попаданий и числом промахов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Найти .

14. Дискретная случайная величина задана законом распределения

	-2	-1
	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Найти . Найти вероятности событий: ; .

15. Дискретная случайная величина задана законом распределения

	0,05	0,2	0,3	0,35	0,1

Найти . .

16. Дан ряд распределения случайной величины

	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

Найти .

17. Случайная величина – число очков, выпавших на верхней грани игральной кости при её бросании. Определить тип случайной величины, и найти её закон распределения.

18. Закон распределения случайной величины характеризуется следующей таблицей

	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти аналитический вид функции распределения случайной величины

и построить график

19. Случайная величина принимает значения – 2, 0 и 2 с вероятностями, соответственно, равными . Найти и построить её график.

20. Случайная величина характеризуется следующим распределением вероятностей

	–3	–2
	0,2	0,1	0,2	0,4	0,1

Найти и построить график.

Задача 2

Может ли данная функция быть плотностью распределения случайной величины. Обосновать.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

Задача 3

Задана – функция распределения случайной величины .

Требуется:

1. Найти функцию плотности вероятности .

2. Если в выражение для входят параметр, то найти его значение.

3. Определить и , если они есть.

4. Построить графики функций и .

1)

■

2)

■

3)

■

4)

■

5)

■

6)

■

7)

■

8)

■

9)

■

10)

■

11)

■

12)

■

13)

■

14)

■

15)

■

16)

■

17)

■

18)

■

19)

■

20)

■

Задача 4

В примерах функция плотности вероятности задана графически.

Требуется:

1. Написать аналитическое выражение для .

2. Найти функцию распределения и построить ее график.

3. Найти .

4. Найти вероятности событий:

1)

■

2)

■

3)

■

4)

■

5)

x

■

6)

■

7)

■

8)

■

9)

■

10)

■

11)

■

12)

x

■

13)

■

14)

x