Напишите уравнения предельного равновесия для осесимметричной задачи

Схема напряжений в случае пространственной осесимметричной задачи.

Система уравнений равновесия:

Условие предельного равновесия в цилиндрической системе координат запишется так:

Кроме того, вследствие симметрии касательные напряжения по меридиональным плоскостям равны нулю, поэтому напряжение является главным и, кроме того, для осесимметричной задачи

5. Каким образом записывается условие предельного равновесия в главных напряжениях? Каким образом это условие преобразуется в зависимость, в которую входят все три компонентов напряжений (в декартовых координатах)?

- условие предельного равновесия в главных напряжениях.

- условие предельного равновесия, выраженное через компоненты напряжений, соответствующие координатным.

6. Сколько неизвестных компонентов напряжений мы имеем в случае плоской задачи, осесимметричной задачи, пространственной задачи теории предельного равновесия?

В случае плоской задачи мы имеем три неизвестных компонента напряжений, в случае осесимметричной задачи четыре, а для пространственной задачи в общем случае шесть компонентов напряжений.

7. Какие дополнительные зависимости привлекаются к уравнениям равновесия в теории предельного равновесия сыпучей среды в плоской и пространственной задачах и сколько этих дополнительных зависимостей?

Плоская задача становится статически определимой при присоединении к уравнениям равновесия: ; ; уравнения - получаем систему уравнений с тремя неизвестными, решение которых зависит от конкретной задачи.

Для осесимметричной пространственной задачи принимается, что меньшие главные напряжения равны между собой, т.е. σ2=σ3. с учетом этого четвертого уравнения получено решение дифференциальных уравнений предельного равновесия при осесимметричной загрузке грунтов основания.

8. В каких случаях общая система уравнений теории предельного равновесия является замкнутой? В каких случаях и сколько уравнений не хватает для получения замкнутости системы?

В случае плоской задачи система оказывается полностью замкнутой. В случае осесимметричной задачи не хватает одного уравнения и привлекается условие "полной сыпучести" путем приравнивания промежуточного главного напряжения минимальному или максимальному, после чего система становится замкнутой. Если не привлечь этого условия, то система будет незамкнутой (неполной). В случае пространственной задачи не хватает двух уравнений и система оказывается незамкнутой.

Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием предельного равновесия получено (проф. В. В. Соколовским, 1942) как сис­темы уравнений гиперболического типа.

9. Нужны ли эксперименты для правильной постановки задачи с использованием основных уравнений теории предельного равновесия сыпучей среды?

Да, нужны не только для проверки получаемых величин напряжений, как обычно, но и для постановки, связанной с неоднозначностью (двойственностью) решений теории предельного равновесия сыпучей среды.

10. Какие инженерные задачи рассматриваются в теории предельного равновесия сыпучей среды?

Предельное напряженное состояние грунта в данной точке соот­ветствует такому напряженному состоянию, когда малейшее доба­вочное силовое воздействие нарушает существующее равновесие и приводит грунт в неустойчивое состояние: в массиве грунта возни­кают поверхности скольжения, разрывы, просадки' и нарушается прочность между его частицами и их агрегатами. Такое напряжен­ное состояние грунтов следует рассматривать как совершенно не­допустимое при воздействии на них сооружений. Поэтому для ин­женерной практики весьма важно уметь оценить максимально возможную нагрузку на грунт, при которой он будет еще находиться в равновесии, т. е. не будет терять прочность и устойчивость.

Вопросы прочности (несущей способности), устойчивости и дав­ления грунтов на ограждения и являются частными задачами об­щей теории предельного равновесия

В теории предельного равновесия обычно рассматриваются следующие задачи (рис.М.13.22) с целью определения:

1) несущей способности основания (зависимости нагрузки от пригрузки или наоборот);

2) давления грунта на подпорную стенку - активного и пассивного;

3) устойчивости откоса заданного очертания (необходимой пригрузки сверху, обеспечивающей предельное состояние);

4) формы предельно устойчивого откоса;

5) формы свода обрушения связного грунта при подземной проходке;

6) предельного давления в грунтовой трубе.