Функция распределения СВ, ее определение, свойства и график

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: .

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее за данной точки х.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна 1.

Общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: .

Утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность.

1. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

Пусть и - точки числовой оси, причем > . Покажем, что . Рассмотрим 2 несовместных события , . Тогда .

Это соотношение между событиями легко усматривается из их геометрической интерпретации (рис.3.6). По теореме сложения :

или откуда .

Так как вероятность , то , т.е. - неубывающая функция. ☻

1. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е.

.

как вероятность невозможного события .

как вероятность достоверного события .

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая ) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.:

.

Формула следует непосредственно из формулы .

19. Непрерывная СВ. вероятность отдельно взятого значения НСВ. Мат. ожидание и дисперсия НСВ.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек (точки излома).

На рис. 3.7 показана Функция распределения непрерывной случайной величины Х, дифференцируемая во всех точках, кроме трех точек излома.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

☺ Покажем, что для любого значения случайной величины Х вероятность . Представим в виде .

Применяя свойство функции распределения случайной величины Х и учитывая непрерывность F(x), получим:

. ☻

Из приведенной выше теоремы следует, что нулевой вероятностью могут обладать и возможные события, так как событие, состоящее в том, что случайная величина Х приняла конкретное значение , является возможным.

Следствие. Если Х - непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл . Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: . При этом предполагается, что интеграл абсолютно сходится.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. .

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: .