Лекция 20. Электродинамика теории относительности

Электродинамика теории относительности. Релятивистски-инвариантная формулировка закона сохранения заряда

В основу релятивисткой электродинамики положены предположения об инвариантности и сохранении электрического заряда. Это соблюдается во всех физических процессах.

Закон сохранения заряда в интегральной форме (2.21):

.

Разделив на объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S, и прейдя к пределу при , получим закон сохранения заряда в дифференциальной форме:

. (3.26)

Для придания закону сохранения заряда релятивистко-инвариантной формы, его следует записать в четырехмерной форме.

Для этого необходимо ввести четырехмерный вектор плотности тока . Введем его так:

. (3.27)

Здесь .

Ниже мы покажем, что четыре величины действительно образуют четырехмерный вектор, т.е. они преобразуются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой по правилам преобразования компонент четырехмерного вектора.

Тогда закон сохранения заряда запишется так:

. (3.28)

Или:

. (3.29)

Легко видеть, что и выражение (3.29) совпадает с выражением (3.26).

называется дивергенцией в четырехмерном пространстве.

Для доказательства инвариантности закона (3.28) относительно преобразований Лоренца нам необходимо будет еще показать, что дивергенция в четырехмерном пространстве инвариант.

Итак, найдем вначале формулы преобразования и при переходе к другой инерциальной системе отсчета (рис. 3.6).

Рис. 3.6. К выводу формулы преобразования для плотности заряда ρ

В системе О' элементарный заряженный объем движется со скоростью , v – скорость движения системы О' относительно системы О вдоль оси х.

В системе О' плотность заряда ρ', а также , , . В системе О' величина объема параллелепипеда dV'.

Введем еще одну инерциальную систему отсчета О'', движущуюся вдоль х' со скоростью . В этой системе объем параллелепипеда dV''. Между dV' и dV'', очевидно, имеет место связь:

. (3.30)

В силу инвариантности заряда:

,
где ρ'' – плотность заряда в системе отсчета О''. Здесь использовано равенство (3.30).

Из подчеркнутого равенства получаем:

. (3.31)

Система О'' движется относительно системы О со скоростью вдоль оси х. Между dV (объем параллелепипеда в системе О) и dV'', очевидно, имеет место связь:

. (3.32)

В силу инвариантности заряда:

,
где ρ – плотность заряда в системе О. Здесь использовано равенство (3.32).

Из последнего подчеркнутого равенства получаем:

. (3.33)

Из (3.31) и (3.33) находим:

. (3.34)

Преобразуем корень в правой части последнего равенства, используя формулы преобразования скоростей Эйнштейна:

.

Тогда:

Подставляя это выражение для корня в (3.34), получим:

.

Отсюда:

,
т.е.

. (3.35)

Если умножить левую и правую части последнего равенства на , то получим:
,
что совпадает с формулой преобразования четвертой компоненты четырехмерного вектора при переходе к другой системе отсчета.

Найдем теперь как преобразуется -овая компонента плотности тока. Имеем:

.

Здесь обозначено .

Таким образом,

(3.36)

Далее:

,
т.е.

. (3.37)

Аналогично можно получить:

. (3.38)

Итак, мы получили для компонент следующие формулы преобразования при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:

; ; ;

.

(Первая из этих формул получается из (3.36) заменой ρ на или на ). Это и есть формулы преобразования компонент четырехмерного вектора.

Таким образом, мы доказали, что четыре величины и представляют собой вектор в четырехмерном пространстве.

Покажем теперь, что дивергенция в четырехмерном пространстве является инвариантной величиной. Пусть – четырехмерный вектор. Дивергенция этого вектора в четырехмерном пространстве:

. (3.39)

Так как и , то

. (3.40)

Аналогично

. (3.41)

Далее

. (3.42)

Из формул преобразований Лоренца находим:

, , , .
Здесь .

Подставляя последние четыре формулы в (3.42), получаем:

. (3.43)

Далее

. (3.44)

Из формул преобразований Лоренца:

, , , .

Подставляя эти четыре выражения в (3.44), получаем:

. (3.45)

Теперь, используя (3.43) и (3.45), а также формулы преобразования компонент четырехмерного вектора при переходе к другой инерциальной системе отсчета

, ,
находим:

(3.46)

Подставляя теперь выражения (3.46), (3.40) и (3.41) в (3.39), получаем

,
т.е.

. (3.47)

Полностью доказано, что закон сохранения заряда в четырехмерной форме (3.28) имеет один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета.

Релятивистски-инвариантная формулировка уравнений электромагнитного поля для потенциалов

Как указывалось ранее, теория электромагнитного поля с самого начала была сформулирована «правильно» с точки зрения теории относительности. Это означает, что система уравнений Максвелла является релятивистски-инвариантной.

Проще всего в этом убедиться, если рассмотреть уравнения для потенциалов в пустоте

, (3.48)

. (3.49)

При выводе этих уравнений используется условие калибровки Лоренца

.

Перепишем уравнение (3.48) без изменения, а уравнение (3.49) умножим вначале на , а потом на :

Или:

,

.
(Расшифровку для смотри ниже).

После умножения на правые части этих уравнений содержат компоненты 4-вектора плотности тока, умноженные на . Следовательно, и в левой части также четырехмерный вектор.

Если ввести четырехмерный вектор потенциала

,
то тогда эти два уравнения можно записать в виде

, (3.50)

где – означает оператор Даламбера

.

Условие калибровки Лоренца может быть записано так

,
т.е.

.

Такая формулировка, как было показано, является релятивистски-инвариантной. Законы электродинамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой компоненты четырехмерного вектора потенциала преобразуются по стандартному закону. В результате получаем:

, , ,

.

Вопросы и задачи к лекции 20

226-1. Что такое четырехмерный вектор плотности тока?

227-2. Запишите закон сохранения заряда в обычной форме и в релятивистски-инвариантной форме.

228-3. Выведите формулу преобразования плотности электрического заряда при переходе от одной системы отсчета к другой.

229-4. Выведите формулы преобразования компонент плотности тока , и при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

230-5.Покажите, что дивергенция в четырехмерном пространстве является инвариантной величиной.

231-6. Выведите релятивистски-инвариантную формулу уравнений электромагнитного поля для потенциалов.

232-7. Что такое четырехмерный вектор потенциала?

233-8. В системе отсчета O', движущейся со скоростью v вдоль оси х относительно системы О, точечный заряд q неподвижен и расположен в начале координат. Найдите скалярный и векторный потенциалы в системах О и O'.