Теорема сложения вероятностей

Изложение этой темы приводим в основном в форме решения отдельных задач.

Для двух произвольных событий А и B теорема сложения имеет вид:

P{A+B} = P{A} + P{B} – P{AB}. (1)

Доказательство. По аксиоме конечной аддитивности имеем:

P{A+B}=P{AB}+P{ B}+P{A }, (2)

P{A} = P{AB} + P{A }, P{B} = P{AB} + P{ B},

откуда P{AB} = P{A} – P{A }, P{AB} = P{B} – P{ B}. (3)

Подставив теперь (3) в (2), получим (1).

1. Доказать, что для трёх произвольных событий A B C теорема сложения имеет вид:

P{A+B+C} = P{A} + P{B} + P{C} – P{AC} – P{AB} – P{BC} + +P{ABC}. (4)

Решение. По (1) имеем P{A+B+C} = P{A+B} + P{C} –

– P{(A+B)C} = P{A} + P{B} – P{AB} + P{C} – P{AC} – P{BC} + + P{ABC}, что и утверждалось.

2. Доказать общую формулу для вероятности суммы n произвольных событий: (5)

Доказательство проводим методом математической индукции (ММИ) аналогично доказательству (4).

При n=1 и 2 формула (5) доказана в задачах 1 и 2. Пусть (5) –предположение индукции (п.и.). Тогда для (n+1)-го события аналогично задаче 2 имеем:

откуда с учётом п.и. (5), применяемого к и получаем ту же структуру формулы, что и в п.и. (5).

, что и доказывает (5) ММИ.

Замечание 1. В случае несовместных слагаемых событий формула (5) упрощается и принимает частный вид, следующий непосредственно из аксиомы конечной аддитивности, а именно:

(6)

3. Доказать (ММИ), что

(7)

Доказательство. При n=2 (7) сразу следует из (1). При n=3 (7) следует из доказанного утверждения при n=2 и (1):

P{A₁+A₂+A₃} ≤ P{A₁+A₂}+P{A₃} ≤ P{A₁}+P{A₂}+P{A₃}.

Теперь, предполагая по индукции, что (6) верно для (n–1), аналогично предыдущему получаем

что и утверждалось.

4. До утверждения введем обозначения:

R₀= P_n, R_n= 0.

Q_s=(–1) ^s R_s; R_s=(–1) ^s Q_s.

Утверждение: s = . (8)

Доказательство. Выпишем используемые в доказательстве очевидные равенства между введенными выше соотношениями:

P_n=P_s+ (–1) ^s R_s, P_n=P_s+Q_s, s = (9)

(10)

(11)

Тогда из (9) и (10) следует, что

R_s = (–1)^s Q_s ≥ 0 всегда, s = Поэтому теперь из (11) получаем

, ч.т.д.

Замечание 2. Знак R_s в (9) совпадает со знаком Q_s и слагаемого в (5).

Замечание 3. Если под членом ряда (5) понимать сумму вероятностей совместного появления одинакового числа событий из n, то эти слагаемые по утверждению (8) по модулю монотонно убывают.

Замечание 4. Из утверждения (8) следует, что формулу (5) можно исполь-зовать для приближенного вычисления : оставляя в правой части (5) нечетное число членов ряда (член ряда определен в замечании 3), получают оценку сверху для P_n, а – четное – снизу, причем с ростом s точность этих оценок возрастает и определяется разностью двух последовательных последних оценок, заключающих в себе истинное значение P_n.