Приклад 2

Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки М ₁(1;3), М ₂(1;-1).

Розв’язання

За рівнянням (1) .

§3. Параметричні рівняння прямої

Нехай в афінній системі координат пряма задана напрямним вектором і точкою М _о (х _о ,у _о ) (рис. 3.3). Точка М(х,у) l тоді і тільки тоді, коли . Отже, існує таке число t, що , звідки

Ці рівняння називають параметричними рівняннями прямої. Тут t – параметр, .

Приклад. Записати параметричні рівняння прямої, що проходить через точки М ₁(1;-2) і М ₂(3;-2).

Розв’язання

Напрямним вектором шуканої прямої є вектор . Отже параметричні рівняння цієї прямої можна подати у вигляді:

§4. Рівняння прямої у відрізках на осях

Нехай пряма l перетинає обидві координатні осі деякої афінної системи координат у точках А(а, 0 ), В( 0 ,b) відповідно, відмінних від початку координат (рис. 3.4). Запишемо рівняння цієї прямої як рівняння прямої, заданої двома точками (§2):

Це і є рівняння прямої у відрізках на осях; a і b – числа, які з точністю до знака дорівнюють довжинам відрізків, які пряма відтинає на відповідних координатних осях. У цьому розумінні говорять, що а, b – відрізки, які пряма відтинає на координатних осях.

Ще раз підкреслимо, що у такому вигляді можна записати рівняння лише тих прямих, які перетинають обидві координатні осі і не проходять через початок координат.

Приклад. Дано пряму 2 х+ 3 у- 6=0. Записати її рівняння у відрізках на осях і виконати відповідний малюнок.

Розв’язання

– рівняння у відрізках на осях (рис. 3.5).

§5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Нехай в афінній системі координат ОXY пряма l перетинає вісь ординат (рис. 3.6). Припустимо, що ця пряма задана напрямним вектором і точкою . Тоді її рівняння

.

Оскільки пряма l не паралельна осі ОY, то вектор не паралельний , а тому і рівняння прямої запишеться у вигляді:

. (1)

Позначимо . Тоді рівняння (1) матиме вигляд

(2)

Число k називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Якщо пряма задана в прямокутній системі координат, то кутовий коефіцієнт має простий геометричний зміст. Позначимо через орієнтований кут між векторами і (рис. 3.7). Тоді

звідки

.

Таким чином, k у рівнянні (2) є тангенсом орієнтованого кута між віссю ОX і вектором .

Легко переконатися, що , де – орієнтований кут між додатним напрямом осі ОX і прямою l (рис. 3.8 а) б)), тобто кут обертання від осі ОX до прямої l в напрямку проти годинникової стрілки.

Дійсно, якщо (рис. 3.8 а)), то . Якщо (рис. 3.8 б)), то .

Рівняння (2) називається рівнянням прямої, заданої кутовим коефіцієнтом і точкою.

Якщо в ролі точки М _о (х _о ,у _о ) взяти точку М _о ( 0; b) перетину прямої l з віссю OY, то рівняння (2) набуде вигляду

y=kx+b (3)

Це рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Якщо система координат прямокутна декартова, то число k – це тангенс орієнтованого кута між віссю ОX і прямою l, а b з точністю до знака дорівнює довжині відрізка, який відтинається прямою l на осі OY.

Приклад. Скласти рівняння прямої, яка: а) проходить через точку М(1,2) і утворює з додатним напрямком осі ОX орієнтований кут 45^о (система координат прямокутна декартова); б) проходить через точку В(0;-1) і має кутовий коефіцієнт k= 2.

Розв’язання

а) Із геометричного змісту кутового коефіцієнта k= =1. Використавши рівняння (2), матимемо:

у -2=1 (х -1 ); у=х +1.

б) Оскільки абсциса точки В дорівнює 0, то використаємо рівняння (3). Тоді b =-1, і пряма має рівняння у= 2 х -1.

§6. Рівняння прямої, заданої точкою і нормальним вектором

Нехай у деякій прямокутній декартовій системі координат ОXY задана точка М _о (х _о ,у _о ), через яку проходить пряма l, і вектор , перпендикулярний до цієї прямої (рис. 3.9). Вектор будемо називати нормальним вектором прямої. Точка М(х,у) належить прямій l тоді і тільки тоді, коли , тобто коли , звідки

(1)

Одержане рівняння – це рівняння прямої, заданої точкою і нормальним вектором.

Приклад. Записати рівняння прямої в прямокутній декартовій системі координат, якщо вона проходить через точку А( 0,-5 ) і перпендикулярна до прямої, заданої точками М ₁ ( 1,3 ) і М ₂ ( 2,0 ).

Розв’язання

Вектор є нормальним вектором цієї прямої. Підставивши в (1) відповідні координати, матимемо:

.

§7. Загальне рівняння прямої

Нехай у деякій афінній системі координат пряма задана точкою М _о (х _о ,у _о ) і напрямним вектором тоді її рівняння

.

Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки:

.

Позначивши , дістанемо

(1)

Отже, будь-яка пряма в афінній системі координат задається рівнянням 1-го степеня (а і b одночасно не дорівнюють нулю, бо ). Тому пряма є алгебраїчною лінією 1-го степеня.

Справедливе і обернене твердження:

Теорема 7.1. Лінія на площині, задана в афінній системі координат рівнянням 1-го степеня

(1)

де , є пряма з напрямним вектором .

Доведення. Нехай лінія на площині, задана рівнянням (1), а М(х _о ,у _о ) – її точка. Тоді

. (2)

Віднявши (2) від (1), дістанемо

,

а це рівняння, як ми довели раніше, визначає пряму з напрямним вектором (-b,а), яка проходить через точку М(х _о ,у _о ).

Отже, будь-яка лінія, задана рівнянням (1), де , є прямою з напрямним вектором . Теорему доведено.

Рівняння (1) називається загальним рівнянням прямої. Напрямний вектор цієї прямої – .

Якщо рівняння (1) розглядається відносно декартової прямокутної системи координат, то вектор буде нормальним вектором цієї прямої, бо , тобто .

Приклад. У прямокутній системі координат пряма задана рівнянням 2 х- 3 у +2=0. Записати рівняння прямої, перпендикулярної до даної, що проходить через точку А (1;2).

Розв’язання

1-й спосіб.

Очевидно, що напрямний вектор даної прямої l є нормальним вектором шуканої прямої l (рис.3.10). За формулою (1) §6 маємо:

; .

2-й спосіб.

Нормальний вектор даної прямої є напрямним вектором шуканої. За формулою (2) §1 маємо:

.

§ 8. Нормальне рівняння прямої

Нехай у прямокутній декартовій системі координат ОХY задана пряма l. Через початок координат проведено вектор нормалі до прямої l і позначимо через – орієнтований кут нахилу його до осі ОХ, Р – точка перетину з l, р – довжина відрізка ОР. Нехай М(х, у) – довільна точка на прямій l (рис. 3.11). Для складання рівняння прямої l використаємо перпендикулярність векторів і , скалярний добуток яких дорівнює нулю.

Оскільки ,

,

то ,

Звідки ,

або

Одержане рівняння називається нормальним рівняння прямої.

У цьому рівнянні завжди як відстань від початку О до прямої l, а коефіцієнти біля змінних х і у такі, що сума їх квадратів дорівнює одиниці .

Наприклад, рівняння є нормальним рівняння прямої.

З’ясуємо, який зв’язок між коефіцієнтами нормального і загального рівняння прямої. Рівняння і є дві різні форми рівняння тієї самої прямої, тому коефіцієнти цих рівнянь пропорційні:

.

Звідси , ; .

Оскільки , то коефіцієнт пропорційності

Знак має бути протилежним знаку с, бо .

Число називається нормуючим множником загального рівня прямої, за його допомогою загальне рівняння можна звести до нормаль­ного виду. Для цього досить всі члени загального рівня помножити на число , взяте із знаком, протилежним знаку вільного члена с.

Приклад. Пряма задана загальним рівнянням . Звести це рівняння до нормального.

Розв’язання

Нормуючим множником буде число , взяте із знаком плюс, оскільки вільний член даного рівняння має знак мінус. Помноживши всі члени даного рівняння на множник , дістанемо нормальне рівняння даної прямої

.

Справді, .

§ 9. Розміщення прямої відносно системи координат

Нехай в афінній системі координат ОXY задана пряма своїм рівнянням

. (1)

Вияснимо особливості її розміщення відносно системи координат в залежності від поведінки коефіцієнтів .

1) .

Тоді рівняння (1) матиме вигляд

. (2)

Пряма проходить через початок координат (рис. 3.12).

2) .

Рівняння (1) матиме вигляд:

(3)

Напрямний вектор такої прямої , тому пряма паралельна осі ОX (рис. 3.13). Рівняння (3) можна записати у вигляді , або , де .

3) .

. (4)

Напрямний вектор , тому пряма (4) паралельна до осі ОY (рис. 3.14). Рівняння (4) можна переписати так: , де .

Приклад. Дослідити, як розташовані відносно осей координат прямі:

а)

б)

в)

г)

Розв’язання

а) Рівняння типу (4), тому пряма паралельна осі ОY;

б) пряма проходить через початок координат;

в) пряма 3 х= 0 або – це вісь ОY;

г) – паралельна осі ОX.

§ 10. Взаємне розміщення двох прямих на площині

Нехай відносно деякої афінної системи координат на площині задано дві прямі:

,

.

Вияснимо аналітичні умови взаємного розміщення цих прямих.

1) Прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли їх напрямні вектори неколінеарні. Але || тоді і тільки тоді, коли їх координати не пропорційні:

(1)

Отже, якщо виконана умова (1), то прямі перетинаються (рис. 3.15).

2) Прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх напрямні вектори і колінеарні, тобто коли їх координати пропорційні. При цьому коефіцієнт пропорційності не повинен дорівнювати відношенню вільних членів:

, (2)

бо в противному разі прямі збігатимуться.

3) Прямі збігаються тоді і тільки тоді, коли їх напрямні вектори колінеарні, тобто їх координати пропорційні, і коефіцієнт пропорційності дорівнює відношенню вільних членів:

(3)

Дійсно, у цьому випадку одне з рівнянь утворюється почленним множенням другого на деяке число і, отже, виражає ту ж саму пряму.

Приклад. При яких значеннях коефіцієнтів і прямі і збігаються?

Прямі збігаються тоді і тільки тоді, коли виконується умова (3), тобто , звідки .

§ 11. Умови, що визначають півплощину

Геометричний зміст лінійної нерівності з двома змінними

Нехай пряма задана в афінній системі координат загальним рівнянням

. (1)

Ця пряма розділяє площину на дві півплощини. Знайдемо умови, які визначають ці півплощини.

Нехай (рис. 3.18). Відкладемо від точки вектори , тому , тому і .

Позначимо через півплощину з межею , яка містить точку . Нехай – довільна точка. Вона належатиме півплощині тоді і тільки тоді, коли базиси і матимуть однакову орієнтацію. Але базис має праву орієнтацію, бо

.

Тому тоді і тільки тоді, коли

.

Оскільки , то остання нерівність запишеться так:

,

або

(2)

Точка , тому , звідки . Тоді нерівність (2) набуває вигляду

. (3)

Ця нерівність визначає півплощину .