Приклад 3

Дано відрізок . Побудувати точки , які ділять відповідно відрізок у відношеннях

Розв’язання

За формулою (3) маємо:

Побудова виконана на рис. 2.11.

Рис. 2.11

§ 4. Орієнтація площини

Означення 4.1. Нехай у просторі задано два різні базиси і (рис. 2.12).

Розкладемо вектори базису В за векторами базису А:

З коефіцієнтів розкладу, тобто з координат векторів у базисі , утворимо матрицю ,

яку назвемо матрицею переходу від базису А до базису В. Визначник матриці переходу позначимо так:

Оскільки вектори лінійно незалежні, то . Тому або , або .

Будемо говорити, що базиси А і В однаково орієнтовані, якщо , і протилежно орієнтовані, якщо .

Таким чином, ми ввели між базисами відношення орієнтації. Покажемо, що це відношення є відношенням еквівалентності, тобто воно симетричне, рефлексивне і транзитивне.

1) відношення однакової орієнтації базисів симетричне: базис А однаково орієнтований з А. Дійсно,

.

2) відношення однакової орієнтації рефлексивна: якщо базис В однаково орієнтований з А, то базис А однаково орієнтований з В.

Дійсно, нехай , тобто , де – координати базисних векторів базису В в базисі А:

Тоді

3) відношення однакової орієнтації транзитивне: якщо базис однаково орієнтований з базисом , а базис В однаково орієнтований з базисом , то й базис А однаково орієнтований з С.

Дійсно, якщо , то й .

Отже, відношення однакової орієнтації є відношенням еквівалентності.

Відношення однакової орієнтації має простий геометричний зміст: два базиси і будуть однаково орієнтованими, якщо обертання від вектора до вектора і від вектора до вектора по найкоротшому шляху здійснюється в одному й тому ж напрямку (проти годинникової стрілки або за годинниковою стрілкою (рис. 2.13 а), б)).

Якщо ж це обертання здійснюється в протилежних напрямках, то базиси протилежно орієнтовані (рис. 2.14 а), б)).

Рис. 2.14 а) Рис. 2.14 б)

Дійсно, відношення однакової орієнтації, встановлене таким чином, також є відношенням еквівалентності, бо воно симетричне, рефлексивне і транзитивне. Крім того, якщо два базиси однаково орієнтовані в цьому розумінні, то відповідний визначник переходу буде додатнім, а якщо ці базиси протилежно орієнтовані, то визначник переходу буде від’ємним. Так, базиси і (рис. 2.15) протилежно орієнтовані і визначник матриці переходу

.

Рис. 2.15 Рис. 2.16

Базиси однаково орієнтовані (рис. 2.16) і визначник

.

Відношення однакової орієнтації базисів дозволяє всю множину базисів підпростору розбити на два класи, якщо зафіксувати один із базисів підпростору , а саме: до одного класу віднести множину базисів, однаково орієнтованих з даним базисом, а до другого – множину всіх базисів, протилежно орієнтованих з цим базисом. Якщо такий поділ базисів на класи здійснено, то простір векторів називається орієнтованим. Площина ж називається орієнтованою, якщо орієнтований простір векторів цієї площини.

Для задання орієнтації на площині досить вибрати один базис і вважати його правим базисом. Правим базисом називатимемо базис , в якому обертання від до по найкоротшому шляху здійснюється проти годинникової стрілки. Протилежно орієнтований до нього базис називається лівим. При цьому система координат називається правою, якщо базис правий (рис. 2.17 а)), і лівою, якщо цей базис лівий (рис. 2.17 б)).

О

О

Рис. 2.17 а) Рис. 2.17 б)

Приклад. Дано базиси: і . Координати векторів базису В в базисі А такі: , а координати векторів базису С в базисі В: . Однаково чи протилежно орієнтовані базиси А і С?

Розв’язання

Знайдемо визначник матриці переходу

,

отже, базиси А і С протилежно орієнтовані.

§ 5. Кут між векторами на орієнтованій площині

Означення 5.1. Нехай – ненульові вектори, задані в певному порядку: – перший вектор, – другий вектор. Якщо вектори і неколінеарні, то напрямленим (орієнтованим) кутом між векторами і називається величина , якщо базис правий, і – , якщо базис лівий (рис. 2.18 а), б)).

Рис. 2.18 а) Рис. 2.18 б)

Якщо , то ; якщо , то .

Отже, для орієнтованого кута .

Нехай вектори задані своїми координатами в прямо­кут­ній системі координат (рис. 2.19).

Виведемо формули для обчислення орієнтованого кута між цими векторами. Нехай .

Тоді

Але

;

;

.

Тоді

; (1)

. (2)