Расчет элементов геометрии канала

Задачи по определению геометрических размеров трапецеидального канала решаются путем подбора искомой величины.

Пусть заданы m, b, n, I ₀, Q. Требуется найти глубину наполнения канала h. (Вариант – задана h, необходимо определить b).

Ход решения:

· рассчитываем модуль расхода K _треб, которым должен характеризоваться канал: ;

· строим график зависимости модуля расхода K от глубины наполнения h: задаваясь рядом значений глубины h, рассчитываем для каждого h соответствующий модуль расхода; для этого удобно составить таблицу расчета:

· по данным такой таблицы (по строкам 1 и 6) строим график зависимости – рис. 9.5. а; кривая имеет выпуклость, обращенную в сторону оси h, и проходит через начало координат (при h = 0 значение K = 0);

· по этому графику, зная K _треб, находим искомую глубину наполнения канала h _иск;

· в случае если задана глубина наполнения h и требуется отыскать ширину по дну b, расчет производится с использованием тех же зависимостей таблично-графическим способом; строится график (рис. 9.5. б) и по нему определяется b _иск.

Рис. 9.5

3. Среди заданных величин – средняя скорость.

3.1. Пусть заданы размеры живого сечения, т. е. b, h и m, а также n и . Требуется найти Q и I ₀.

Ход решения:

· вычисляем площадь живого сечения , величину смоченного периметра и гидравлический радиус ;

· находим расход ;

· зная R и n, определяем C;

· определяем уклон дна .

3.2. Пусть заданы m, n, Q, , а также одна из величин: h или b. Требуется определить: уклон дна I ₀, а также неизвестный геометрический размер b или h.

Ход решения:

· вычисляем площадь живого сечения ;

· формула для площади живого сечения содержит одну неизвестную величину b или h (в зависимости от условий задачи); решая это уравнение, находим неизвестный геометрический размер живого сечения;

· рассчитывая необходимые величины (R и C), определяем уклон дна .

Таблица 9.1

Расчет геометрических параметров канала

№	Величина	Задаваемые и расчетные значения
1.	h	h 1	h 2	...	...	...	hn
2.		...	...	...	...	...	...
3.		...	...	...	...	...	...
4.		...	...	...	...	...	...
5.	(формула Маннинга)	...	...	...	...	...	...
6.		...	...	...	...	...	...

3. Вывод дифференциального уравнения неравномерного движения в виде

Важнейшей задачей расчета неравномерного движения является построение кривых свободной поверхности потоков. Для решения этой задачи необходимо установить зависимость глубины потока от расстояния вдоль оси потока.

Рассмотрим участок потока при неравномерном движении (рис. 10.10). Будем полагать, что изменение сечения русла по длине происходит постепенно, так что соблюдаются условия плавной изменяемости движения. Уклон дна I ₀ принимаем достаточно малым для того, чтобы живые сечения считать вертикальными, измеряя глубину h по вертикали. Ось длины l направим вдоль линии дна русла.

Рис. 10.10

Запишем уравнение Бернулли для двух вертикальных сечений потока 1 – 1 и 2 – 2, расположенных на бесконечно малом расстоянии dl друг от друга. Отметка дна относительно плоскости сравнения О–О в первом сечении z, глубина h, средняя скорость , а во втором сечении – соответственно z + dz, h + dh, . Приращения могут быть и положительными, и отрицательными. Тогда уравнение Бернулли для точек в сечениях, расположенных на поверхности потока, запишется так:

,

где – потери энергии по длине между сечениями.

Разделив это уравнение на расстояние между сечениями dl и приведя подобные члены, получим дифференциальную форму уравнения Бернулли: .

Заметим, что – это уклон дна русла. Знак «минус» возникает потому, что уклон принимается положительным в сторону уменьшения отметок дна. Кроме того, – это гидравлический уклон или уклон трения. Из уравнения (10.1) видно, что .

Объединяя эти рассуждения, получим

.

(10.4)

Из этого уравнения следует, что приращение удельной энергии сечения по длине потока равно разности уклона дна и уклона трения.

Уравнение (10.4) называется основным дифференциальным уравнением установившегося неравномерного движения в открытом русле. Оно справедливо для общего случая движения потока в русле произвольного сечения.

4. Вывод дифференциального уравнения неравномерного движения для призматического русла из выражения (10.4)

При определении уклона трения будем допускать, что потери напора при неравномерном плавноизменяющемся движении выражаются теми же формулами, что и при равномерном движении воды. То есть для определения уклона трения будем использовать формулу Шези , где – модуль расхода.

Для равномерного движения справедлива зависимость , где K ₀ – нормальный модуль расхода.

Тогда можем записать ,

и правая часть уравнения (10.4) примет вид .

Преобразуем левую часть уравнения (10.4). Умножим и разделим ее на dh: .

Удельная энергия сечения является функцией двух переменных: h и l. Длина l, в свою очередь, также зависит от h.

Поэтому .

Отсюда

.

(10.5)

В соответствии с уравнением (10.2) .

Тогда

.

(10.6)

Здесь использовано соотношение , где B – ширина канала по верху. С другой стороны: .

Используем следующие известные соотношения: .

Тогда

Подставляя эти выражения в формулу (10.5), получим левую часть уравнения (10.4) в виде

.

Объединяем левую и правую части уравнения:

.

Выразим из этого соотношения величину изменения глубины потока вдоль течения – .

(10.7)

Уравнение (10.7) – это дифференциальное уравнение для определения изменения глубины потока при плавноменяющемся движении в руслах произвольного сечения. Для цилиндрических и призматических русел, т. е. русел, у которых площадь сечения вдоль потока остается постоянной , из уравнения (10.7) получим

.

(10.8)

5. Удельная энергия сечения и ее график. Критическая и нормальная глубины, критический уклон, их определение.

Будем рассматривать случаи неравномерного движения в призматических руслах, например, трапецеидального или прямоугольного сечений. Считаем уклон дна I ₀ русла, а также его размеры и шероховатость стенок и дна известными.

Обратим внимание на следующее обстоятельство – один и тот же расход Q может быть пропущен через такое русло при различном его наполнении, т. е. при разных глубинах в каждом сечении. При больших глубинах вода будет двигаться с меньшей скоростью, при малых глубинах – с большей. Однако равномерное движение заданного расхода возможно только при одной глубине, определяемой формулой ,

так как значению расходной характеристики (модулю расхода) соответствует определенное значение глубины потока (см. рис. 9.5).

Глубина равномерного движения потока жидкости h ₀ называется нормальной глубиной для данного расхода. Отвечающее нормальной глубине значение расходной характеристики K ₀ будем называть нормальной расходной характеристикой. В заданном русле при всех глубинах, отличных от нормальной, заданный расход будет проходить при неравномерном режиме движения. Каждому расходу в определенном русле соответствует свое значение нормальной глубины. Зная форму и размеры русла и расход жидкости, нормальную глубину можно определить графически. Для этого следует построить график зависимости : задаваясь некоторыми значениями глубины h, можно вычислить соответствующие значения расходной характеристики K и по полученным точкам построить график (рис. 10.5).

Затем на оси K следует отложить величину нормальной расходной характеристики , и на оси h определить соответствующее значение нормальной глубины h ₀.

Рассмотрим некоторое сечение потока (рис. 10.6). Удельную энергию протекающей жидкости в соответствии с уравнением Бернулли можно отсчитывать относительно произвольной плоскости сравнения, например плоскости A–A. В зависимости от расположения плоскости сравнения значения удельной энергии будут разными. Назовем удельной энергией сечения удельную энергию, рассчитанную относительно плоскости сравнения, проведенной через низшую точку сечения – плоскость O–O

на рис. 10.6.

Обозначив удельную энергию сечения через Э, запишем трехчлен Бернулли: .

Нетрудно убедиться, что в открытых руслах для любой точки в потоке ,

(10.1)

т. е. величина удельной потенциальной энергии равна глубине воды в сечении.

Тогда

Таким образом, удельная энергия сечения складывается из удельной потенциальной энергии h и удельной кинетической энергии . С учетом выражения средней скорости движения через расход

.

(10.2)

Из уравнения (10.2) видно, что даже при постоянном расходе Q удельная энергия сечения при неравномерном движении меняется с изменением глубины потока h и соответственно площади живого сечения ω. Характер зависимости, определяемый уравнением (10.1), приведен на рис. 10.7. На графике изменение удельной потенциальной энергии h изображено пунктирной прямой, проходящей под углом 45º к осям координат. При удельная энергия сечения Э также стремится к бесконечности. Изменение кинетической энергии показано пунктирной гиперболой. При увеличении глубины возрастает площадь живого сечения потока, скорость, а с ней и кинетическая энергия уменьшаются. При площадь живого сечения стремится к нулю (), скорость и кинетическая энергия возрастают. Суммарная кривая, отображающая изменение полной удельной энергии сечения состоит из двух ветвей. Вдоль верхней ветви энергия Э возрастает с увеличением глубины h, это увеличение происходит за счет увеличения потенциальной энергии.

Рис. 10.7

Вдоль нижней ветви энергия Э возрастает с уменьшением глубины за счет увеличения кинетической энергии. Очевидно, что функция Э имеет минимум в точке соединения двух своих ветвей. Глубина, при которой удельная энергия сечения достигает минимального значения Э _min, называется критической глубиной h _кр. Для определения критической глубины можно воспользоваться условием минимума удельной энергии сечения Э – функции, определяемой формулой (10.2). Возьмем производную этой функции по h: .

Приращение площади живого сечения при изменении глубины может быть представлено (рис. 10.6) как , где B – ширина живого сечения по верху. Тогда .

.

(10.3)

При глубине, равной критической , функция Э имеет минимум, значит, в этой точке производная должна быть равна нулю, тогда

Здесь и – площадь живого сечения и ширина его по верху при критической глубине h _кр.

Формула (10.3) позволяет определить критическую глубину для русел любой формы. Поскольку критическая глубина входит в формулу неявным образом, ее находят способом подбора. Критическую глубину можно определить и графически, построив по нескольким точкам график функции . Далее, отложив на оси абсцисс величину , получим на оси ординат искомое значение h _кр (рис. 10.8).

Для некоторых форм поперечных сечений русел критическую глубину можно определить аналитически. Например, для русел прямоугольного сечения ее можно вывести из формулы (10.3) с учетом того, что , . Тогда .

Рассуждая аналогично, для симметричных треугольных русел получим выражение , где m – коэффициент откоса русла.

Для русел параболического сечения , , где p – параметр параболы.

Отсюда из формулы (10.3) находим . Для русел трапецеидальной формы составлены таблицы и графики для определения критических глубин в зависимости от параметров сечений.

Из выражений, определяющих величину критической глубины, можно видеть, что она зависит от формы и размеров русла и от расхода, но не зависит от уклона и шероховатости стенок русла. В то же время при равномерном движении нормальная глубина зависит как от расхода, формы и размеров русла, так и от его уклона и шероховатости. При изменении уклона критическая глубина не меняется, а нормальная – меняется. В зависимости от уклона нормальная глубина может быть больше или меньше критической, а при некотором уклоне нормальная глубина может стать равной критической. Уклон дна, при котором нормальная глубина становится равной критической, т. е. , называется критическим уклоном. При критическом уклоне расход определится по формуле для равномерного движения

Подставив это выражение в формулу (10.3) и решив его относительно , получим .

При уклоне дна меньше критического, , нормальная глубина больше критической – . Такие уклоны называют пологими. При уклоне дна больше критического, , нормальная глубина меньше критической – . Такие уклоны называют крутыми.

В зависимости от соотношения действительной и критической глубин потока различают три состояния потока.

Если действительная глубина больше критической, состояние потока называют спокойным. Основным видом энергии такого потока является потенциальная энергия.

В тех сечениях, где глубина потока равна критической, состояние потока называют критическим. При глубине меньше критической поток называют бурным. Энергия потока сосредоточена главным образом в кинетической энергии.