Несобственные интегралы первого рода

Могут встретиться три типа бесконечных областей:

1)полупрямая

2)полупрямая

3)вся бесконечная прямая

Рассмотрим функцию , определенную на полупрямой . Пусть A- некоторая точка полупрямой, большая чем а(A>a) и пусть функция интегрируема на отрезке , принадлежащим рассматриваемой полупрямой, тогда на полупрямой можно рассмотреть функцию (1).

Определение: Предел функции при , если он существует, называется несобственным интегралом первого рода от функции по полупрямой и обозначается (2).

При этом говорят, что несобственный интеграл (2) сходится. Если предел бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Таким образом: (3).

Если сходится интеграл то также сходится, обратное в общем случае неверно, однако если сходится интеграл, то говорят, что, первый интеграл сходиться абсолютно, а - абсолютно интегрируема.

ВОПРОС

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.

Рассмотрим некоторое тело Т…

Предположим, что известна площадь любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси ox. Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. будет являться функцией от переменной х. Будем считать, что , есть непрерывная функция на отрезке . Проведем плоскости , эти плоскости разбивают тело на слои, в каждом частичном отрезке выберем точку . Проведем через точку плоскость перпендикулярную оси ox. Соответствующая площадь . На основании выделенного сечения построим цилиндр с образующей параллельной оси ох, объем цилиндра равен , объем всех построенных таким образом цилиндров (1). Объемом тела Т принято считать предел суммы (1) при и при стремление диаметра разбиения к 0.

, => при известных площадях сечений, вычисление объема тела сводится к вычислению определенного интеграла.

Объём вращения тела

Вычислим объем тела, получаемый от вращения криволинейной трапеции вокруг оси ох.

В каждом сечении тела плоскостью перпендикулярной оси х получим круг, площадью которого и объем тела вращения