Функции и отображения

Функцией называется функциональное соответствие. Если функция ¦ устанавливает соответствие между множествами A и B, то говорят, что функция имеет тип A ® B (обозначается ¦: A ® B, т.е. ¦(а)= b).

Отображением A в B называется всюду определенная функция ¦: A ® B. Отображением A на B называется всюду определенное и при этом сюръективное функциональное соответствие ¦: A ® B.

Отображение типа A ® A часто называют преобразованием множества A. Функция типа A ® A, являющаяся отображением A на A, называется перестановкой на A.

Таблица 3.1

Соответствие	Обязательное свойство
функциональное	всюду определенное	сюръективное
Функция Отображение A в B Отображение A на B	+ + +	+ +	+

Функции ¦ и g равны, если:

· их области определения – одно и то же множество A;

· для любого a Î A ¦(a)= g (a).

Функция типа ¦: А ₁´ А ₂´…´ А_n ® B называется n - местной: ¦(a ₁,..., a_n)= b, где a ₁Î A ₁, …, a_n Î A_n, b Î B.

Пусть G Í A ´ B. Тогда соответствие H Í B ´ A называется обратным к G (обозначается G ^–1), если H таково, что (b, a)Î H тогда и только тогда, когда (a, b)Î G.

Если соответствие, обратное к функции ¦: A ® B, является функцио-нальным, то оно называется функцией, обратной к ¦ (обозначается ¦^–1).

Пусть даны функции ¦: A ® B и g: B ® C. Функция h: A ® C называется композицией функций ¦ и g (обозначается ¦° g): если имеет место равенство

¦° g (х)= h (x)= g (¦(x)), где x Î A.

Часто говорят, что функция h получена подстановкой ¦ в g. Для многоместных функций ¦: A^m ® B, g: Bⁿ ® C возможны различные варианты подстановки ¦ в g, дающие функции различных типов. Например, при m =3 и n =4 функция h = g (x ₁, ¦(y ₁, y ₂, y ₃), x ₃, x ₄) имеет шесть аргументов и тип B ´ A ³´ B ²® С.

Функция, полученная из ¦₁,..., ¦ _n некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется суперпозицией ¦₁,..., ¦ _n. Выражение, описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки и символы аргументов (и, разумеется, скобки), называется формулой.

Способы задания функции:

1. графиком;

2. таблицей;

3. формулой, описывающей функцию как суперпозицию других (исходных) функций;

4. рекурсивной вычислительной процедурой. Например, функция ¦(x)=1 × 2 × 3 × … × (x –1) × x = x! описывается рекурсивной вычислительной процедурой, задаваемой следующими правилами:

1) ¦(0)=1; 2) ¦(x +1)=¦(x) × (x +1).

Пример 1. Таблица выигрышей лотереи устанавливает соответ-ствие G между парами чисел из N ´ N = N ² (серия, номер выигравшего билета) и множеством выигрышей M, т.е. G Í N ²´ M. Является ли задан-ное соответствие функцией, и если – да, то какой?

Соответствие G Í N ²´ M, задаваемое таблицей выигрышей, является функциональным, так как для каждой указанной пары из N ² (серии, номера билета) определен конкретный (единственный) выигрыш из M. Таким образом, данное соответствие есть двухместная функция ¦: N ´ N ® M. Функция такого типа не всюду определена, значит не является отображением. Более того, как правило, число выигравших билетов (мощность области определения пр₁¦) больше перечня наименований выигрышей (мощности области значений пр₂¦), поэтому данная функция не обладает единственностью прообраза. В силу сказанного ¦ не является взаимно однозначным соответствием.

Таким образом, таблица выигрышей лотереи определяет функцию ¦: N ´ N ® M, которая не является отображением и тем более – взаимно однозначным соответствием.

Пример 2. Задать несколько возможных типов для функции ¦(n)=2 ⁿ. Для каждого типа определить:

· свойства функции ¦;

· является ли ¦ отображением и, если является, то каким?

1. Пусть тип функции ¦: N ® N. Тогда ¦(n)=2 ⁿ всюду определена, так как пр₁¦= N, но не сюръективна, поскольку пр₁¦= M ₂ n ¹ N (M ₂ n – множество натуральных чисел, являющихся степенями двойки). Следовательно, функция ¦ является отображением N в N.

2. ¦: N ® M ₂ n. Тогда функция ¦ всюду определена и сюръективна, следовательно, является отображением N на M ₂ n.

3. ¦: N ® R. Функция ¦ всюду определена, но не сюръективна, т.е. ¦ есть отображение N в R.

4. ¦: R ₊® N. Функция ¦ частично определена и сюръективна, поскольку область значений ¦(n)=2 ⁿ при заданном типе функции ¦ представляет множество натуральных чисел, т.е. пр₂¦= N, значит не для всех x Î R ₊ функция ¦ определена, т.е. пр₁¦¹ R ₊. Следовательно, ¦: R ₊® N не является отображением.

5. ¦: R ® R. Функция ¦ всюду определена, но не сюръективна (¦ не имеет отрицательных значений). Следовательно, ¦ – отображение R в R.

6. ¦: R ® R ₊. Функция ¦ всюду определена и сюръективна, т.е. явля-ется отображением R на R ₊.

Кроме названных свойств во всех случаях ¦ есть функциональное соответствие, а для случаев 2 и 6 – взаимно однозначное.

Пример 3. Чему равна композиция функций ¦(x)=2 x и g (x)=1+ x?

Пусть функции ¦(x)=2 x и g (x)=1+ x имеют тип R®R. Тогда их композиции возможны в произвольном порядке. Композиция функций ¦° g = h ₁ представляет собой подстановку ¦ в g, т.е.

h ₁=¦° g = g (¦(x))=1+¦(x)=1+2 x.

Композиция ¦° g = h ₂ есть функция, полученная подстановкой g в ¦, т.е.

h ₂= g °¦=¦(g (x))=2 g (x)=2(1+ x)=2+2 x.

Пример 4. Функции ¦ и g имеют тип ¦: A ³® B и g: B ⁴® C. Какой тип имеют функции h ₁ и h ₂, являющиеся композициями ¦ и g:

а) h ₁= g (x ₁, ¦(y ₁, y ₂, y ₃), x ₃, x ₄);

б) h ₂= g (¦(y ₁, y ₂, y ₃), ¦(z ₁, z ₂, z ₃), x ₃, x ₄)?

Функция h ₁ содержит шесть аргументов и ее тип

h ₁: B ´ A ³´ B ²® С.

Функция h ₂ содержит восемь аргументов, ее тип

h ₂: A ³´ A ³´ B ²® С или h ₂: A ⁶´ B ²® С.

Пример 5. Дано множество A ={ a, b, c, d } и два преобразования этого множества (т.е. функции типа A ® A, являющейся отображе- нием A в A):

a=(1®3, 2®3, 3®1, 4®2); b=(1®2, 2®1, 3®1, 4®3).

Обычно преобразования конечных множеств записываются так:

Чему равна композиция преобразований?

Композиция преобразований – это новое преобразование:

Вопросы для самопроверки и упражнения:

1. Какой тип имеет функция ¦(x)= sinx, при котором для ¦ существует обратная функция ¦ ^–1?

2. Чему равна композиция функций ¦(x) и g (x), если:

а) ¦(x)=2 x и g (x)= lgx;

б) ¦(x)= x ³ и g(x)=

в) ¦(x)=2 ^x и g (x)= x +1?

Каковы области определения функций и их композиций?

3. Функции ¦ и g имеют тип ¦: A ²® B и g: B ⁵® C. Какой тип имеют функции h ₁ и h ₂, являющиеся композициями ¦ и g:

а) h ₁= g (x ₁, ¦(y ₁, y ₂), ¦(z ₁, z ₂), x ₄, x ₅);

б) h ₂= g (x ₁, x ₂, ¦(y ₁, y ₂), x ₄, ¦(z ₁, z ₂);

в) h ₂= g (¦(y ₁, y ₂), x ₂, ¦(z ₁, z ₂), ¦(u ₁, u ₂), x ₅)?

4. Найти композицию преобразований: