Доказательство. Так как функция f{x) непрерывна на [а, b], то она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение т

Так как функция f{x) непрерывна на [а, b], то она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение т, т.е. существуют такие точки х1,х2 Î [а,b], что f (х1) =m, f(x2)=М, и вьполняются неравенства .

Возможны два случая: 1) т = М; 2) т < М.

.В первом случае f(x)=const = m = М. Поэтому производная f’(х) равна нулю в любой точке [а, b], и теорема доказана.

Во тором случае так как f(а) = f(b), то хотя бы одно из двух •значений М и m, не принимается на концах отрезка [а, b], т.е. существует точка с Î(а,b), в которой функция f(х) принимает наибольшее или наименьшее значение на интервале (а, b). В этом случае, так как f(x) дифференцируема в точке С, из теоремы ферма следует, что f'(с) =0.

Теорема доказана.

Теорема Ролия имеет простое геометрическое истолкование:

Между двумя точками кривой, заданной уравнением у = f{x} (где функция f(x} непрерывна на отрезке (a,b) и дифференцируема внутри этого отрезка), с равными ординатами всегда найдется, по крайней мере, одна точка, в которой касательная к кривой параллельна оси OX.

Следует отметить, что в теореме Ролля требуется, чтобы. функция у = f(x) была непрерывна на отрезке [ а, b] и дифференцируема в интервале (a, b ). Так как из дифференцируемости функции f(x) в интервале (а,b) вытекает непрерывность ее в этом интервале, то по существу вместо непрерывности на отрезке [ а,b] можно было бы потребовать непрерывность, функции у =f(x) в точке а справа и в точке b слева.

Следствие: Если функция f(x) определена, непрерывна на отрезке [а,b], дифференцируема, по крайней мере, в интервале (а,b), то между двумя нулями функции лежит хотя бы один нуль производной;,