Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

(1)

(2)

Ряд называется абсолютно схяодящимся, если сходится ряд .

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

Св-ва абсолют. сход. рядов:

1) Т. Для абсолют. сходи. ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представ. в виде разности 2х сход рядов с неотрицат членами.

2) В сход ряде любая группировка членов ряда, не измен их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолют сходится и имеет ту же сумму.

4) Т. При любой группировке членов абсолютно сход. ряда получается сход. ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

5) Если ряды и (сход. абсолютно и их суммы равны соответственно S и s, то ряд, составленный из всех произведений вида , i,k=1,2…взятых в каком угодно порядке, также сход абсолютно и его сумма равна произведению сумм перемножаемых рядов.

Cв-ва условно сход. рядов:

1. Если ряд условно сход., то ряды, составл. из его положит. и членов, расх..

2. Путём измен. порядка членов условно сход. ряда можно получить ряд, сход. к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся.

3. При почленном умножении 2х условно сход рядов может получиться расх. ряд.