Розв’язування вправ

Плани практичних занять

З вибраних питань алгебри та математичного аналізу

Спеціальність Математика Курс 4

Література

1. Ковтонюк М.М. Основи функціонального аналізу / М.М. Ковтонюк, А.А. Томусяк. – Вінниця: ПП „Едельвейс і К”. – 2011. – 574 с.

2. Курченко О.О. Метричні простори у курсі математичного аналізу / О.О. Курченко, К.В. Рабець. – К., 2011. – 146 с.

3. Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного / Ю.С. Очан. – М.: Просвещение. – 1965. – 231 с.

РОЗДІЛ І. МЕТРИЧНІ ПРОСТОРИ (12 год.)

Практичне заняття №1 (2 год.)

Метричні простори. Приклади метричних просторів.

1. Означення метричного простору. Приклади метричних просторів.

2. Елементарні властивості метрики

3. Декартовий добуток метричних просторів

4. Відкрита та замкнена кулі, окіл точки.

5. Обмежені множини. Діаметр множини

Розв’язування вправ

1. Нехай . Чи буде відстанню в , якщо за означенням дорівнює ?

2. Чи буде функція відстанню в , якщо:

а)

б) ?

3. Чи буде функція відстанню в , якщо:

а) , де для

б) ?

4. Чи буде функція відстанню в , якщо ?

5. Знайти відстань між функціями і на , якщо

.

6. Нехай множина функцій, визначених і неперервних разом із своїми похідними до -го порядку включно. Чи буде функція наділяти множину відстанню, якщо ?

7. Нехай – множина всіх квадратних матриць над полем . Довести, що відображення , яке діє за правилом: кожній парі матриць

відносить число , наділяє множину метрикою.

8. Нехай наділена рівномірною метрикою. Розв’язати рівняння:

.

9. У метричному просторі з природною метрикою знайти діаметр множини