Кусочно-линейное и кусочно-квадратичное интерполирование

Иногда, интерполирование по всей совокупности точек бывает не достаточным. В этих случаях можно воспользоваться объединением фрагментов графиков полиномов низкой степени и интерполированием между последовательными узлами. Самый простой в использовании полином первой степени. Он создает ломаную, состоящую из отрезков, которые проходят через две точки. Чтобы представить эту кусочно-линейную кривую, используется полином Лагранжа:

или используя формулу угла наклона отрезка линии в точке:

,

где - линейный сплайн на отрезке [x_k+1, x_k], y_k – заданное значение функции, полученное экспериментально в заданных узлах. Аналогично можно построить кусочно-квадратичный полином.

Недостатком этого подхода является резкое изменение кривизны в общих узлах.

Пример: Для функции y=f(x), заданной таблично осуществить кусочно-линейное интерполирование и кусочно-квадратичное интерполирование.

x		0,5
f(x)	1,5

Решение: Осуществим кусочно-линейное интерполирование. Для этого разобьем данную функцию на элементарные промежутки, определяемые соседними числами верхней строки таблицы, и на каждом из участков строим прямую линию (полином первой степени), т.е.

Рис. 3.1. График полученного кусочно-линейного интерполирования.

Осуществим кусочно-квадратичное интерполирование. Для этого будем рассматривать тройки известных точек отрезков [0;1],[1;3],[3;5]. На каждом из этих отрезках по известным точкам построим полином второй степени. В результате получим:

Рис.3.2. График полученного кусочно-квадратичного интерполирования.

3.3.2 Простейший подход к сглаживанию

Суть процедуры сглаживания состоит в подмене данной функции на каждом из рассматриваемых отрезков наилучшим линейным среднеквадратичным приближением.

На первом этапе. Для таблично заданной функции найти такую функцию S(x), составленную из линейных функций , чтобы для всех х в смысле минимума квадрата отклонений, т.е. . В результате решается задача нахождения коэффициентов a_i, b_i методом наименьших квадратов:

,

Второй этап состоит в пересчете данной таблицы , для . Доопределим новую табличную функцию значениями и . В результате этого получаем новую табличную функцию, в которой сохраняется характер поведения исходной функции. Описанная процедура называется осреднением по трем точкам и является простым частным случаем линейного фильтра.

3.3.3 Кусочно-кубические сплайны

Определение: Функция S(x) называется кубическим сплайном, если существует N кубических полиномов S_k(x) с коэффициентами s_k,0, s_k,1, s_k,2, s_k,3, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. , для

и , т.е. кубический сплайн состоит из кубических полиномов.

2. Кусочно-кубическое интерполирование задается совокупностью точек, т.е. для .

3. Кусочно-кубическое представление состояло из кривых, которые являются гладкими непрерывными функциями. Вторая и первая производные должны быть непрерывны: , , .

Наиболее часто на практике используется кубический сплайн следующего вида: .

Для задания сплайна коэффициенты , , , - подбираются так, чтобы , а первая и вторая производные были непрерывными.

Леммы о сплайнах:

1. Смыкающий (чертежный) сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который имеет первую производную с граничными условиями , , т.е. смыкающий сплайн имеет определенный наклон в крайних точках.

2. Естественный сплайн. Существует единственный кубический сплайн со свободными граничными условиями , , т.е. сплайн допускает свободный наклон на краях для обеспечения положения, которое минимизирует осцилляцию кривой.

3. Экстраполяционный сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который используется для экстраполирования по внутренним узлам, чтобы определить по узлам х₁, х₂ и по узлам х_N-1, х_N-2.

4. Сплайн, заканчивающийся параболой. Существует единственный кубический сплайн такой, что на интервале [x₀, x₁] и на интервале [x_N-1, x_N].

5. Сплайн с заданной кривизной в крайних точках. Существует единственный кубический сплайн с заданными значениями второй производной в крайних точках.