Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).
Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
13. предельный переход в неравенствах
Теорема 1. Если и, начиная с некоторого номера, выполняется , то .
Доказательство. Пусть с некоторого номера выполняется Предположим, что . Так как , то для существует такой номер N, что для всех выполняется или , откуда получаем , что противоречит условию. Случай рассматривается аналогично.
Следствие 1. Пусть и сходятся и, начиная с некоторого номера, выполняется , тогда .
Следствие 2. Пусть сходится и при любом , тогда и .
Доказательство. Так как , то и .
Теорема 2. Пусть и с некоторого номера n выполняется условие .Тогда последовательность сходится и .
Доказательство. Пусть – номер, с которого выполняется , тогда с этого номера выполняется , или . Так как и , то для любого числа существуют такие номера и , что для всех , а для всех , а для всех номеров , где выполняется , что и означает
14. первый замеч. Предел. Второй зам. предел
15. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 334 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!