Позиционные игры

Решение:

Определим чистые стратегии игроков. Первый игрок имеет три информационных множества – 3 чистые стратегии (выбирая стратегию 1 на первом ходу, у него нет более ходов; выбирая стратегию 2 на первом ходу, он может выбрать две стратегии на втором ходу). Второй игрок имеет три информационных множества – 2 чистые стратегии (две стратегии на первом ходу и единственная стратегия в случае выбора первым игроком на первом ходу вторую стратегию).

Строим платежную матрицу:

A\B
2,1	-1
2,2		-4

В матрице нет седловой точки, следовательно, игра имеет решение в смешанных стратегиях.

Проверим, есть ли в матрице доминируемые строки и доминирующие столбцы. Можно удалить третью строку, доминируемую с первой. В результате получим матрицу

Прибавив ко всем элементам матрицы А', например, число с =1, получим матрицу

.

все элементы которой неотрицательны, а элементы первой строки строго положительны.

Составим пару симметричных двойственных задач, так чтобы исходная задача была стандартной задачей максимизации, матрица коэффициентов этой задачи совпадала с платежной матрицей А", ·а коэффициенты при неизвестных в целевой функции и свободные члeны неравенств были бы равны единице.

Задача 1 Мах f(X) = x1+ x2 при условиях: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, 4 x2≤1, 5x1 + x2≤1

Задача 2 Min g(Y) = у1 + у2 при условиях: 5 у1 ≥ 1, y1 + 4y2 ≥1, у1 ≥ 0, у2 ≥0.

Решим задачу 1 симплекс-методом. Она задана в форме общей задачи. Сведем её к основной при помощи дополнительных неизвестных x₃ ≥0, x₄ ≥0. В результате получим следующую задачу.

x_j ≥ 0 (j = 1,…,4),

f(X) = x₁+ x₂→ тах.

Задача – каноническая и, применив к ней алгоритм симплекс-метода, c помощью MS Excel найдем решение:

причем f(X*) = g(Y*) =0,4

Из решений двойственных задач получим цену игры и оптимальные стратегии игроков в игре с матрицей А":

v" = = 2.5;

= ;

= =

Игра с матрицей А' будет иметь те же оптимальные стратегии и , что и игра с матрицей А", причем цена игры

v' = v" – с = 2.5-1 = 1.5.

И, наконец, исходная игра с матрицей А имеет оптимальные стратегии

Р*= и Q*=

и цену игры v = v' =1.5