Дифференцируемость функции нескольких переменных

Согласно общему определению функция двух переменных x,y является дифференцируемой в точке (x0,y0) своей области определения M, если существуют такие константы a,b и c, что для любой точки (x,y) области M верно

при этом число a неизбежно равно значению функции в точке (x0,y0), а числа b и c являются частными производными функции в той же точке, то есть

При этом всякая дифференцируемая в точке (x0,y0) функция имеет в этой точке обе частные производные, но не всякая функция, имеющая обе частные производные является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. Напр., функция

которая имеет в точке O = (0,0) обе частные производные, но не является в этой точке непрерывной. В самом деле,

и если {an} — бесконечно малая последовательность, то

поэтому предел

не существует.

График функции y = f(x,y) представляет собой поверхность в пространстве Oxyz, а график линейной функции доставляет касательную плоскость к этой поверхности, проведенную в точке (x0,y0).