Определение доверительных границ средних и относительных величин

Для каждого исследования выбирается вероятность γ ( γ = 1 - α ), называемая доверительной вероятностью (надежностью, вероятностью безошибочного прогноза). Она обычно близка к 1, при которой событие можно считать практически достоверным, например, 0,95; 0,99.

Интервал (`x –Δ; `x +Δ), отвечающий выбранной доверительной вероятности γ, называют доверительным интервалом. Граничные

значения (`x -Δ и `x +Δ) – доверительными границами.

Чем больше число γ, тем выше надежность, т.е. полученная оценка является более достоверной. В то же время, для более точной оценки мы заинтересованы в малой величине доверительного интервала.

В случае нормального распределения доверительные интервалы оказываются симметричными относительно соответствующей точечной оценки параметра (среднего).

Истинное значение параметра (с надежностью γ) в генеральной совокупности находится где-то внутри доверительного интервала. Разность между точной оценкой среднего (медианы, моды) в генеральной совокупности и значением этого параметра в выборке не превышает длины интервала и называется ошибкой выборки (µ). Наибольшую из возможных ошибок называют предельной ошибкой выборки (∆), она характеризует точность оценки, равна половине доверительного интервала и находится по формуле:

∆ = Т*µ,

где µ - ошибка среднего выборки,

Т – коэффициент Стъюдента, зависящий от надежности γ, равный ε_γ для больших выборок (его значения приведены ниже) или t_γ для малых выборок (представлен в таблице 3.1).

Таким образом, пользуясь таблицами для ε_γ и t_γ, по известному значению надежности γ можно найти доверительные интервалы для средней или относительной величины, используя формулы:

Для средней величины - `x <sub>ген</sub> =`x _выб ± Т ∙ µ `x,

Для относительной величины – Υ_ген = Υ_выб ± Т ∙ µ_y,

где `x_ген – средняя величина признака в генеральной совокупности,

`x_выб – средняя величина, полученная при анализе выборочной совокупности,

Υ_ген – относительная величина в генеральной совокупности,

Υ_выб – относительная величина, полученная в результате анализа выборочной совокупности,

µ_y – ошибка относительной величины, µ`x – ошибка средней величины,

Т – доверительный коэффициент, зависящий от надежности и объема выборки.

При N ≤ 30: α = 0,05 (5%) ⇒ γ = 95%

α = 0,01 (1%) ⇒ γ = 99% Т= t_γ

α = 0,001 (0,1%) ⇒ γ = 99,9%

Значение критерия t_y находится по таблице значений коэффициента Стьюдента, в зависимости от числа наблюдений (таблица 3.1).

α = 0,05 (5%)	⇒	γ = 95%	}	Т= εγ = 1,96
α = 0,01 (1%)	⇒	γ = 99%	Т= εγ = 2,7
α = 0,001 (0,1%)	⇒	γ = 99,9%	Т= εγ = 3,6

При N >30:

Таблица 3.1. Значения коэффициента Стьюдента (Т= t_γ) при малом числе наблюдений (при N ≤ 30)