З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах. 1) Нерівність Чебишова та її застосування у теорії ризику.

1) Нерівність Чебишова та її застосування у теорії ризику.

2) Теорема Чебишова, її значення для практики.

3) Теорема Бернуллі. Підсилений закон великих чисел.

4) Основні поняття математичної статистики.

1. І для дискретних, і для неперервних випадкових величин має місце нерівність Чебишова П. Ф.: ймовірність того, що відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання за абсолютною величиною менше додатного числа , не менше ніж

Для практики ця нерівність має у певному розумінні обмежене значення.

Так, якщо , одержуємо: Але ймовірність події завжди невід’ємна – тому важливої інформації у даному випадку нерівність не містить.

У теорії ризику нерівністю Чебишова використовується для оцінки граничних можливостей інвестора, а саме – для оцінки ймовірності його банкрутства. Користуючись нерівністю Чебишова, можна оцінити ймовірність того, що випадкова величина Х (прибуток) відхилиться від свого математичного сподівання М(Х) менше, ніж на

Таким чином, ймовірність протилежної нерівності не перевищує .

Нерівність Чебишова має важливе теоретичне значення, оскільки з її допомогою Чебишов довів теорему, яка називається законом великих чисел. Ціла низка теорем, що називаються законом великих чисел, описують закономірності, що виникають у результаті спільної дії великої кількості незалежних випадкових факторів.

Для розуміння цих теорем нам необхідно ознайомитися з означенням збіжності за ймовірністю.

Означення. Якщо для будь-якого додатного числа ймовірність нерівності прямує до одиниці при , то говорять, що послідовність випадкових величин збігається за ймовірністю до числа (або має число своєю границею за ймовірністю). Це записують так:

.

2. Має місце теорема Чебишова. Нехай Х₁, Х₂,…, Х_n – попарно незалежні випадкові величини, причому їх дисперсії рівномірно обмежені: Тоді, яким би малим не було додатне число , ймовірність нерівності буде як завгодно близькою до одиниці, якщо число випадкових величин досить велике.

Таким чином, при виконанні умов теореми Чебишова виконується гранична рівність

тобто

ПРИКЛАД. Перевірити, чи виконуються умови застосування закону великих чисел для послідовності попарно незалежних випадкових величин , заданих такими законами розподілу:

n
		.

Розв’язування. Умова попарної незалежності випадкових величин , згідно з умовою, виконується. Переконаємося, що дисперсії випадкових величин рівномірно обмежені.

Маємо:

Знаходимо:

Таким чином, дисперсії рівномірно обмежені. Отже, теорема Чебишова до вказаної послідовності може бути застосована.

В частинному випадку, коли , теорема Чебишова формулюється так.

Якщо - попарно незалежні випадкові величини, що мають одне і та ж саме математичне сподівання , і якщо дисперсії цих величин рівномірно обмежені, то, яким би малим не було число , ймовірність нерівності буде як завгодно близькою до одиниці, якщо число випадкових величин досить велике.

Таким чином, в цьому випадку

тобто

Суть теореми Чебишова полягає в тому, що середнє арифметичне досить великого числа незалежних випадкових величин (дисперсії яких рівномірно обмежені) втрачає характер випадкової величини. Теорема Чебишова – це яскравий приклад, який підтверджує справедливість вчення діалектичного матеріалізму про зв'язок між випадковістю та необхідністю.

Теорема Чебишова має величезне значення для практики. Пояснимо це на такому прикладі.

Деяку величину вимірюють декілька разів, а середнє арифметичне значення беруть за значення цієї величини. Наскільки це правомірно?

Нехай - результат кожного вимірювання.

1) Якщо результат кожного вимірювання не залежить від результатів інших вимірювань, то величини попарно незалежні.

2) Якщо вимірювання проводяться без систематичних (одного знаку) помилок, то , тобто всі математичні сподівання однакові.

3) Якщо вимірювальний прилад забезпечує певну точність вимірювань, то дисперсії (розсіювання) рівномірно обмежені.

При виконанні умов 1), 2), 3), користуючись частинним випадком теореми Чебишова, одержуємо:

А на практиці можна отримати точність, яка не перевищує точність вимірювального приладу.

На теоремі Чебишова заснований вибірковий метод, який використовується в математичній статистиці.

3. У 1713 році Я. Бернуллі опублікував теорему, яка також називається законом великих чисел. За допомогою теореми Чебишова ця теорема просто доводиться.

Теорема Бернуллі. Якщо в кожному з незалежних випробувань ймовірність р появи події А одна і та ж сама, то як завгодно близька до одиниці ймовірність того, що відхилення відносної частоти від ймовірності р за абсолютною величиною буде як завгодно малим, якщо число випробувань досить велике:

(тобто ).

Щоб довести цю теорему, спочатку введемо такі позначення: - число появ події в першому випробуванні, - в другому, …, - в -ому випробуванні, при цьому або , ().

До послідовності застосуємо теорему Чебишова (частинний випадок). Цю теорему можна застосовувати, оскільки, по-перше, - попарно незалежні (випробування незалежні) і, по-друге, рівномірно обмежені.

Дійсно, . Тому маємо: .

При цьому (оскільки ), що і доводить теорему Бернуллі.

Зауважимо, що з теореми Бернуллі не випливає, що при . Слід розрізняти звичайну збіжність та збіжність за ймовірністю. Якби виконувалася умова звичайної збіжності, то при всіх досить великих значеннях , починаючи з деякого , мала б місце нерівність , де - як завгодно мале додатне число. Оскільки теорема Бернуллі доводить збіжність за ймовірністю , то це означає, що умова може порушуватися при деяких значеннях .

Теорема Бернуллі обґрунтовує статистичне означення ймовірності.

Мають місце закони великих чисел, доведені у загальній формі, ніж теореми Чебишова, Бернуллі. Наведемо лише одну з них – теорему Маркова, учня Чебишова.

Теорема Маркова. Нехай для кожної з випадкових величин існує скінченне математичне сподівання і виконується умова .

Тоді має місце збіжність за ймовірністю:

.

Цікаво зазначити, що був час, коли противники молекулярної будови матерії стверджували, що якби дійсно молекули «бомбардували» пластинку, опущену в рідину, то закон Паскаля не справджувався б з такою високою точністю. Згідно з законом великих чисел (у формі Чебишова), тиск на пластинку залишається практично постійним (із-за дуже великої кількості молекул рідини). Якщо ізолювати невелику кількість молекул, то дійсно мають місце флюктуації тиску – відхилення від закону Паскаля.

4. Основна задача математичної статистики – це створення методів збору і обробки даних для одержання наукових і практичних висновків.

Генеральною сукупністю називається сукупність об’єктів, з якої випадковим чином відбирають для дослідження вибіркову сукупність (вибірку).

Об’ємом сукупності (генеральної чи вибіркової) називають число об’єктів цієї сукності.

Повторною називають вибірку, при якій відібраний об’єкт повертається в генеральну сукупність перед відбором наступного.

Безповторною називають вибірку, при якій відібраний об’єкт в генеральну сукупність не повертається.

Вибірка з генеральної сукупності повинна бути досить великою – репрезентативною.

Існують способи відбору, які не потребують попереднього розбиття генеральної сукупності на частини. Це – простий випадковий безповторний відбір, а також простий випадковий повторний відбір.

Простим випадковим називають такий відбір, при якому об’єкти дістають по одному із всієї генеральної сукупності. Для цього елементи генеральної сукупності нумерують і відбирають ті з них, номери яких містяться у таблиці випадкових чисел (на випадково відкритій сторінці, у випадку відібраному рядку).

До способів відбору, що вимагають попереднього розбиття генеральної сукупності на частини, відносяться типічний, механічний та серійний відбори. При типічному відборі об’єкти відбираються не із всієї генеральної сукупності, а з кожної її «типічної» частини. Наприклад, перевіряється якість продукції, виготовленої 1-им, 2-им, 3-им і т. д. цехом. При механічному відборі генеральну сукупність «механічно» ділять на стільки груп, скільки об’єктів повинно увійти у вибірку, і з кожної групи відбирають один об’єкт. Серійним називають відбір, при якому об’єкти відбираються з генеральної сукупності не по одному, а «серіями». На практиці часто поєднують ці способи відбору.

Припустимо, що у результаті експериментів над випадковою величиною Х отримано результатів спостережень. Розмістимо їх у порядку зростання і позначимо (при цьому ). Цю сукупність називають варіаційним рядом.

Припустимо, що значення зустрічається разів, так що , де - об’єм вибірки, . Числа називаються частотами, а таблиця виду називається

… …	частотною таблицею, або статистичним розподілом вибірки.

Частотними таблицями користуються при дослідженні дискретних випадкових величин, а також неперервних випадкових величин, якщо вибірка не дуже великого об’єму.

У випадку неперервної ознаки Х, як правило, інтервал зміни статистичних даних ділять рівномірно на інтервал . При цьому число вибирають з умови: , де - об’єм вибірки; число називають розмахом вибірки.

Неперервній статистичній змінній Х поставимо у відповідність дискретну варіанту з таким статистичним розподілом:

… …	Тут - середини інтервалів , а - частоти, що відповідають інтервалам відповідно.

Зазначимо, що коли деякий елемент вибірки потрапляє на межу інтервалу , то його зараховують лише до одного з суміжних інтервалів – лівого чи правого.

Крім табличного, часто використовують графічне зображення статистичного матеріалу.

Полігоном, або многокутником частот називається ламана лінія, яка з’єднує точки з координатами .

Аналогічно будують многокутник відносних частот, з’єднуючи точки з координатами , де - відносна частота.

Користуються і іншими методами графічного представлення статистичного матеріалу – секторними, променевими діаграмами тощо.

У випадку неперервної ознаки, як правило, користуються гістограми частот або відносних частот (рис…).

Гістограмою частот називають фігуру, складену із прямокутників, оновами яких є частинні інтервали довжиною , а висоти дорівнюють . При цьому площа і- го прямокутника дорівнює , а площа всіх прямокутників - ( - об’єм вибірки).

Аналогічно гістограмою відносних частот називають фігуру, складену із прямокутників, основами яких є частинні інтервали довжиною , а висоти дорівнюють . При цьому площа і- го прямокутника дорівнює , а площа всіх прямокутників дорівнює одиниці.

Вираз називають щільністю частоти, а - щільністю відносної частоти. Для аналітичного представлення статистичного матеріалу користуються емпіричною функцією розподілу (або функцією розподілу вибірки) , яка визначає для кожного значення х відносну частоту події (тут - це число спостережень, при яких значення ознаки виявлялося менше, ніж х).

Зауважимо, що теоретична функція розподілу визначає ймовірність події , а емпірична функція - відносну частоту тієї ж самої події.

Функція має властивості, аналогічні властивостям функції :

1) 2) - неспадна функція;

3) при , де - найменша варіанта, і при , де - найбільша варіанта.

Важливими характеристиками вибірки є статистики локації – медіана , мода та середня вибіркова. Медіана – це варіанта, що знаходиться посередені варіаційного ряду.

Якщо об’єм вибірки є непарним числом, тобто ( - натуральне число), то медіана визначається за формулою: .

Якщо об’єм статистичного матеріалу описується парним числом, тобто , то . Інколи медіаною (у цьому випадку) вважають весь відрізок .

Можна довести, що медіана мінімізує суму модулів відхилень елементів вибірки від сталої величини:

, де .

Модою статистичного матеріалу називається той елемент вибірки, який найчастіше у ній зустрічається. Вибірка може мати і більше, ніж одну моду.

ПРИКЛАД. Для вибірки, заданої таблицею потрібно визначити медіану, моду і побудувати графік функції .

Розв’язування. Об’єм вибірки . Значить, Найбільша частота – це . Значить, .

Емпірична функція розподілу визначається

За формулою:
.

Важливою числовою характеристикою вибірки є середнє вибіркове , тобто середнє арифметичне елементів вибірки:

Можна довести, що сума відхилень елементів статистичного матеріалу від середнього вибіркового дорівнює нулю: і що середнє вибіркове мінімізує суму квадратів відхилень елементів вибірки від сталої величини:

, де .

Сума квадратів відхилень елементів вибірки від середнього вибіркового називається девіацією. Варіансою (або виправленою дисперсією) статистичної змінної називається сума квадратів відхилень елементів статистичного матеріалу від вибіркової середньої, поділена на об’єм вибірки без одного: . Число () називається кількістю ступенів вільності вибірки. Таким чином, варіанса – це девіація, поділена на кількість ступенів вільності. Якщо вибірка представлена таблицею ), то варіанса

(.

… …

Стандартом (середнім квадратичним відхиленням) або флуктуацією називають арифметичне значення кореня квадратного з варіанси: .

Зазначимо, що за міру розсіяння елементів вибірки часто беруть вибіркову дисперсію :

(або ).

Між і існує такий зв’язок з , де коефіцієнт називається поправкою Бесселя (при ).