Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. Определение криволинейного интеграла по длине дуги (1-го рода).
где h=AB, имеющая уравнение y= j(x)
dh-дифференциал дуги ABили h.
2.Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги (1-го рода).
где имеющая уравнение y=j(x),
j/(x)- производная y.
3.Определение криволинейного интеграла по координатам (2-го рода).
Криволинейный интеграл по координатам (II-го рода) есть работа, совершаемая переменной силой
на криволинейном пути AB(механическое толкование).
4.
5.
(A C B)
6.Криволинейный интеграл II-го рода (по координатам) вычисляется по формуле:
где представлена уравнением y=j(x), [a,b]-отрезок изменения x дуги AB.
7.
т.е криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.
8. не зависит от контура интегрирования между т. А и т. В, если выполняется тождественное равенство:
Этот факт используется в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования (следует выбрать ломаную, соединяющую точки А и В, звенья которой параллельны осям (OX) и (OY).
Подынтегральное выражение при указанных условиях является полным дифференциалом некоторой однозначной функции т.е а уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах.
9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром С, находится по формуле:
10.2. Примеры решения задач.
Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл I-го рода по длине дуги
где L- отрезок прямой от т. O(0;0) до B(4;3)
Решение:
Уравнение прямой имеет вид:
или
Находим тогда
Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y= x2, x= y2и 8xy=1.
Решение:
Решая совместно уравнения кривых находим координаты точек A и B:
Þ
Þ
Значит, или
Это краткое решение. Более подробное решение имеет вид:
или
1. -дуга параболы y= x2; dy=2xdx; тогда
2. - дуга кривой тогда
3. -дуга кривой тогда
Задача 3. Дано
Проверить, что данное выражение является полным дифференциалом функции «U» и найти эту функцию.
Решение:
- требование полного дифференциала выполняется и данное
выражение можно записать , где U=U(x,y)- искомая функция.
Будем интегрировать dUпо ломаной OAM(см. рис.)
y. M (x;y)
O(0;0) A(x;0) x
Учтя, что на пути [OA] y=0; dy=0 а на пути [AM] x=const, dx=0, получим:
Ответ:
Задача 4. Найти центр тяжести дуги полуокружности лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице.
Решение: Из соображения симметрии ясно, что центр тяжести лежит на оси (OY), поэтому
Xc=0.
Ордината , где dL-длина дуги.
- длина полуокружности, т.е
Тогда
Ответ:
Вопросы для самопроверки.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 296 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!