Пример 1.2

Сумма в 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту – 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?

По условиям данной операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV = 10000,процентная ставка r = 10% и срок n = 4 года.

Определим будущую величину вклада на конец первого периода:

FV₁ = PV + PV r = PV (1 + r) = 10000(1 + 0,1) = 11000.

Соответственно для второго периода величина FV будет равна:

FV₂ = FV₁ + FV_1 r = PV (1 + r) + PV (1 + r) r = PV (1 + r)²=

= 10000(1 + 0,1)² = 12100.

Для последнего периода (n = 4):

FV₄ = FV₃ + FV_3 r = PV (1 + r)⁴= 10000(1 + 0,1)⁴ = 14641.

Общее соотношение для определения будущей величины имеет следующий вид:

. (1.3)

Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,00 при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45!

На рис. 1.1 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.

Рис. 1.1. Рост суммы в 1.00 по ставкам сложных процентов

На практике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например ежемесячно, ежеквартально и т.д. В этом случае соотношение (1.3) для исчисления будущей стоимости будет иметь следующий вид:

, (1.4)

где m – число периодов начисления в году.

Очевидно, что чем больше m, тем быстрее идет наращение суммы.

Допустим, что в примере 1.2 проценты выплачиваются ежеквартально (т = 4). Определим FV_4,4:

FV_4,4 = 10000,00 (1 + 0,10/4)¹⁶ = 14845,06, т.е. на 204,06 больше, чем при начислении процентов раз в год.

Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту:

, (1.5)

где r – номинальная ставка; m – число периодов начисления.

Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate – EPR) или ставкой сравнения.

Осуществим расчет эффективной процентной ставки и будущей величины вклада для примера 1.2:

ЕPR = (1 + 0,1/4)⁴- 1 = 0,103813

FV = 10000,00 (1 + 0,103813)⁴= 14845,06.

Таким образом, условия помещения суммы в 10000,00 на депозит сроком на 4 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов и под 10,3813%, начисляемых раз в год, являются эквивалентными.