Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

1°. Система дифференциальных уравнений

,

где - искомые функции от t; - постоянные числа; - заданные

функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка.

Такую систему методом исключения можно привести к одному линейному урав-нению не выше второго порядка. Решение этой задачи рассмотрим на примерах.

П. 12.1

Дифференцируем первое уравнение по t: . Подставляем сюда из

системы уравнений производные :

. Из первого уравнения системы , тогда

. Т.о., - линейное уравнение; решая его известным способом, найдем ; далее, находим из соотношения

. Общее решение системы:

.

Решим задачу Коши с начальными данными: .

.

.

2°. Система дифференциальных уравнений

, (12.1)

где - искомые функции от x; - постоянные числа; называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка.

Систему можно, конечно, решить методом исключения, но можно решить более универсальным методом (методом Эйлера).

Если для системы (12.1) известна система линейно независимых частных решений (фундаментальная система решений):

тогда общее решение имеет вид . (12.2)

Частные решения ищем в виде: . После подстановки в систему и сокращении на получаем систему уравнений для определения неизвестных : (12.3)

Чтобы эта однородная линейная система алгебраических уравнений имела ненулевое решение должно выполняться условие:

=0 (12.4)

Уравнение (12.4) называется характеристическим уравнением, а его корни -

характеристическими числами.

План решения системы (12.1) методом Эйлера:

♠ Раскрываем определитель (12.4) и находим корни (случаи кратных и комплексных

корней рассматривать НЕ БУДЕМ).

♠♠ Записывая и решая системы (12.3) , находим неиз-

вестные . Второе уравнение системы (12.3) является следствием первого,

поэтому достаточно выписать одно из уравнений системы.

♠♠♠ Находим фундаментальную систему решений и записываем общее решение по фор-

муле (12.2).

П. 12.2

Записываем определитель =0,

. Решаем первое уравнение системы (12.3):

, полагаем

, полагаем .

Т.о., - фундаментальная система.

- общее решение.

П. 12.3 ; при .

Решаем уравнение , .

Решаем первое уравнение системы (12.3):

, полагаем

, полагаем .

Фундаментальная система: .

Общее решение: .

При x =0 имеем два уравнения для определения констант :

. Т.о., частное решение, удовлетворяющее

начальным условиям: .