С постоянными коэффициентами. (9.1) называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными ко-эффициентами; - постоянные вещественные числа

Уравнение

(9.1) называется линейным дифференциальным уравнением n -го порядка с постоянными ко-эффициентами; - постоянные вещественные числа. Если функция ) не равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение с правой частью.

Уравнение

(9.2) называется линейным однородным дифференциальным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами; - постоянные вещественные числа. Т. к. функция ) равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение без правой части.

Уравнение (9.3)

называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (9.2).

Система функций называется линейно независимой в интервале , если тождество ( - постоянные числа)

может выполняться только когда все . Если к тому же каждая из функций является частным решением однородного уравнения (9.2), то система решений однородного уравнения называется фундаментальной системой решений.

Еслифундаментальная система решений найдена, то функция

дает общее решение однородного уравнения (9.2), (все - константы).

1°. Однородное уравнение. Рассмотрим три случая.

(♠) Все корни характеристического уравнения различны и вещественны.

Фундаментальная система решений имеет вид:

.

Функция дает общее решение одно-родного уравнения (9.2) (все - константы).

П. 9.1.

Записываем характеристическое уравнение . Его корни ,

; фундаментальная система решений ;

- общее решение.

П. 9.2 . Начальные данные: при .

Корни характеристического уравнения . Общее ре-шение . Т. к. , то для определения костант

имеем два уравнения: . Значит, - частное решение, удовлетворяющее заданным начальным данным.

(♠♠) Все корни характеристического уравнения различны, но среди них есть