 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Пример 14. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х
|
|
F(x)= 
Найти значение параметра а, плотность распределения f(x), математическое ожидание случайной величины Х, дисперсию Х, вероятность того, что Х примет значение в интервале (p/6; p).
Решение: Так как функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна, то F(0)=а∙sin0=0 и F(p/2)=a∙sin(p/2)=1 (это условия непрерывности функции F(х) в точках х=0 и х=p/2). Из второго равенства имеем а∙1=1, отсюда а=1.
Итак, функция распределения имеет вид
F(x)= 
Плотность распределения находим по формуле f(x)=F '(x).
Так как (sin x)'=cos x, C'=0, то
f(x)= 
Математическое ожидание находим по формуле М(Х)= 
М(Х)= 
+ 
+ 
Интегрируя по частям, получаем М(Х)= π/2-1.
Для нахождения дисперсии используем формулу D(X)= M(X2) - M(X)2
Вычислим М(Х2)= 
= + 
+ . Интегрируя по частям, получаем М(Х2)= π2/4-2, отсюда D(X)= π-3.
Вероятность того, что Х примет значение в интервале (p/6; p) находим по формуле Р(а<Х<b)=F(b)-F(a). Получим P(p/6<X< p) =F(p)-F(p/6)= 1-sin p/6=
1-0.5=0.5. Эту вероятность можно найти другим способом, воспользовавшись формулой Р(а<Х<b)= 
. Получим P(p/6<X< p) = 
+ 
=sin(p/2)-sin(p/6)=0.5.
· П о к а з а т е л ь н о е р а с п р е д е л е н и е.
Показательным (экспоненциальным) распределением называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается функцией плотности распределения:
f(x)= 
где l - постоянная положительная величина.
Мы видим, что показательное распределение определяется одним параметром l. Пользуясь формулой F(х)= 
,
найдем интегральную функцию показательного распределения F(х)=1-е-lх (х>0).
Примером случайной величины, распределенной по показательному закону, является длительность времени безотказной работы прибора.
Математическое ожидание показательного распределения:
М(Х)= = 
.
Интегрируя по частям, получим: М(Х)=1/l.
Дисперсия показательного распределения равна D(X)=1/l2. Среднее квадратическое отклонение показательного распределения равно 
(Х)= 1/l, т.е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой. Эта особенность показательного распределения используется на практике: по данным наблюдений находят оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения; если эти оценки окажутся близкими одна к другой, то заключают, что изучаемая величина распределена по показательному закону.
Вероятность попадания случайной величины, распределенной по показательному закону, в интервал (a,b) равна Р(a<Х<b) = е-la- е-lb (докажите).
Пример 15: Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, заданному при х≥0 плотностью распределения
f(х)=0.04е-0.04х ; при х<0 f(x)=0. Найти среднее значение случайной величины Х, вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (1;2).
Решение: Среднее значение случайной величины – это ее математическое ожидание М(Х)=1/λ=1/0.04=25. Вероятность Р(1<X<2)= е-0.04∙1- е-0.04∙2=0.038.
Ответ: среднее значение 25, Р(1<X<2)=0.038.
· Н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е.
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью распределения
.
Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и s. Вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, s есть среднее квадратическое отклонение нормального распределения.
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (см. §3,4 гл. ХII[1]).
Вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), вычисляется по формуле:
Р(a<Х<b)= 
= F(
) - F(
),
где Ф(х) - функция Лапласа.
Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от математического ожидания по абсолютной величине вычисляется по формуле:
Р(│ x-a│<δ)=2F(
).
Положив в этой формуле δ=3σ, получим
Р(│ x-a│<3σ)=2F(3) =0.9973,
т.е. вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания будет меньше утроенного среднеквадратического отклонения, равна 0.9973 (иначе говоря, это почти достоверное событие). Последнюю формулу называют правилом трех сигм. Изучите подробнее сущность этого правила (см. §7 гл. ХII [1]).
Пример 16: Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х равны соответственно 10 и 2.
а) Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (12,14)
б) Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который попадет Х с вероятностью 0,9973.
Решение: а) Воспользуемся формулой
Р(a<Х<b)= F() - F().
Подставив α=12, β=14, a=10 и σ=2, получим Р(12<X<14)=Ф(2)-Ф(1)=0,1359 (значения функции Лапласа Ф(х) находим по таблице приложения 2([1]).
б) По правилу трех сигм Р(│ x-a│<3σ)=0.9973, поэтому искомый интервал находим, решая неравенство │ x-a│<3σ. Подставляя условия, получим
│ x-10│<3∙2; отсюда –6<x-10<6; 4<x<16.
Ответ: а) Р(12<X<14) = 0,1359; б) интервал (4;16).
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 4402 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
