Понятие аксиоматической теории

На уроке геометрии.
Учитель: «Для чего мы изучаем аксиомы?»
Ученик: «Чтобы их не доказывать».

Аксиоматический метод не является достижением только двадцатого столетия. В начале двадцатого века, благодаря главным образом работам немецкого математика Д. Гильберта (1862-1943), окончательно сформировались принципиальные положения данного метода, и было осознано его значение для математики. А первый шаг на этом пути был сделан более двух тысяч лет тому назад древнегреческим математиком Евклидом (около 300 г. до н. э.). Его труд «Начала» явился энциклопедией геометрических знаний и образцом написания математических работ на протяжении двадцати веков. Именно благодаря этому авторитетнейшему произведению сформировалось общечеловеческое представление об аксиоме как об утверждении, не требующем доказательства и являющем собой некую абсолютную истину.

В наше время в каждом среднем учебном заведении изучается геометрия Евклида. Многие поколения школьников на уроках геометрии знакомятся с понятиями «аксиома», «теорема», «доказательство», а также с образцами безукоризненных логических рассуждений. На пороге третьего тысячелетия очень трудно найти людей, не имеющих представления о системе Евклида. Они настолько редки, что после их обнаружения об этом сразу же сообщают по телевидению в рекламных роликах.

Параллельные линии не пересекаются, – доказано Евклидом.

Надежная бытовая техника существует, – доказано Zanussi.

Телевизионная реклама. Сентябрь 2000 г.

Внутри математической науки общепринятый взгляд на аксиомы претерпел самые решительные изменения. Важным этапом в процессе эволюции этих взглядов явилось построение во второй половине XIX века различных моделей неевклидовой геометрии. Оказалось, что терминам, входящим в аксиомы, и самим аксиомам можно придавать различный смысл, а не только тот наглядный, который имел в виду Евклид.

При аксиоматическом построении математических теорий обычно считается, что правила логики нам известны, и мы умеем интуитивно пользоваться ими. Аксиоматические теории, в которых правила логики явно не заданы, называются неформальными или интуитивными. При построении некоторой интуитивной аксиоматической теории придерживаются следующих этапов:

1) Задается некоторое множество понятий (терминов) называемых первичными или основными.

По сути дела на этом этапе выделяется одно или несколько множеств объектов теории и соответствий между ними. Например, приводя описание геометрии, Евклид рассматривал в качестве первичных понятия «точка», «прямая» и «лежать на». Последнее из понятий характеризовало некоторое соответствие между точками и прямыми.

В свое время Евклид сделал попытку строго определить все первичные понятия геометрии (точку, прямую, плоскость и т. д.). Ясно, однако, что эти понятия должны определяться через какие-то другие, те, в свою очередь, сами должны определяться через какие-то понятия, и так далее. Поэтому некоторые понятия приходится считать первичными и не давать им никаких определений. Все свойства первичных понятий, которыми можно пользоваться в аксиоматической теории, описываются в аксиомах.

Точка есть то, часть чего есть ничто.
Определение точки по Евклиду
Точка есть то, что под этим понимает каждый не испорченный образованием человек.
Современное определение точки

Неопределяемость первичных понятий объясняется попросту тем, что попытка все определять приводит либо к регрессу в бесконечность; (процесс последовательных определений никогда не оканчивается), либо к порочному кругу (ситуация при которой в результате конечного числа последовательных шагов понятие определяется через само себя).

2) Выделяется некоторое подмножество высказываний о первичных понятиях. Эти высказывания называют аксиомами.

С аксиомами возникает ситуация аналогичная с утверждениями относительно первичных и определяемых понятий. Невозможно доказать все справедливые утверждения об этих понятиях. При доказательстве любого утверждения нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, при их доказательстве, в свою очередь, - на следующие, и так без конца. Поэтому и здесь необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их справедливыми в данной теории. В качестве таких утверждений, принимаемых без доказательства, выбираются аксиомы.

Вопрос о том, какие утверждения о первичных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специального рассмотрения. Отметим только, что Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее, на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых.

3) При помощи первичных понятий даются определения всех остальных понятий.

Как отмечалось выше, первичные понятия аксиоматической теории не определяются. Вместе с тем, все другие понятия, которые предполагается использовать в теории, должны быть строго определены через первичные неопределяемые понятия и через понятия, смысл которых был определен раньше. Высказывание, определяющее таким способом значение понятия, называется определением, а само понятие, смысл которого определен, носит название определяемого понятия.

4) На основе аксиом и определений чисто логическим путем выводятся новые утверждения о первичных и определяемых понятиях. Получаемые новые утверждения называются теоремами данной аксиоматической теории.

Можно более точно сформулировать понятие теоремы аксиоматической теории. Сначала, однако, мы определим понятие доказательства. Доказательством или выводом в аксиоматической теории T называется конечная последовательность В₁, В₂,..., В_s высказываний теории, в которой каждое высказывание является либо аксиомой, либо получается из предыдущих высказываний данной последовательности с помощью логических правил вывода. Высказывание C аксиоматической теории T, называется теоремой теории T, если существует вывод, в котором последним высказыванием является C. Тот факт, что высказывание C является теоремой теории T, обозначается символом С.

Отметим, что каждая аксиома аксиоматической теории является ее теоремой. Доказательством аксиомы является одноэлементная последовательность, состоящая из нее самой.

Важным является следующее обобщение понятия теоремы. Пусть Г - конечное множество высказываний некоторой аксиоматической теории. Утверждение C теории называется выводимым из Г (и обозначается Г C), если существует конечная последовательность высказываний В₁, В₂,..., В_s, называемая выводом C из Г, каждое высказывание которой является либо аксиомой, либо высказыванием из Г, либо получено из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по какому-либо из правил вывода рассматриваемой теории, а последнее высказывание В_s есть утверждение С. Утверждения из Г называются гипотезами (или посылками, или допущениями). В частном случае, когда Г = Æ, вывод C из Г превращается в доказательство утверждения C, а C становится теоремой аксиоматической теории.

Итак, под аксиоматической теорией, построенной на основе системы аксиом S, понимается совокупность всех теорем, доказываемых, исходя из этой системы аксиом. Такую совокупность теорем обозначают Th (S).

Изложенный метод построения математической теории носит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиом условен. Одно и то же утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлен по-иному. Таким образом, если в обыденной жизни за термином «аксиома» утвердился его изначальный смысл (в переводе с греческого «аксиома» означает «достойный признания»), именно смысл самоочевидной, безусловной истины, то в математике, при построении аксиоматических теорий, аксиомы условны. Они «достойны признания» не сами по себе, не ввиду их самоочевидной истинности, а потому что на их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы становятся теоремами. Коротко говоря, аксиомы - это то, из чего выводятся теоремы, а теоремы - то, что выводится из аксиом.

Через точку A, не принадлежащую прямой l, проходит единственная прямая параллельная l. Евклид Через точку A, не принадлежащую прямой l, проходит бесконечно много прямых параллельных l. Лобачевский, Больяи, Гаусс Через точку A, не принадлежащую прямой l, не проходит ни одной прямой параллельной l. Риман

Не требуется «верить» аксиомам. Даже поднимать этот вопрос и бесполезно и бессмысленно. В старых школьных учебниках геометрии бытовала фраза: «Справедливость аксиом подтверждается многовековым опытом человечества». Этот тезис с точки зрения «чистого» математика не имеет никакого смысла. В самом деле, как может «многовековой опыт человечества» (или какие угодно иные аргументы) подтвердить или опровергнуть тот факт, что для любой прямой l и точки A плоскости a() в плоскости a существует единственная прямая, проходящая через точку A и не пересекающая прямую l. Данный факт представляет собой всего лишь условное соглашение, и никакой проверке его истинность не подлежит.

Для построения геометрии Евклид в качестве одной из аксиом выбрал первое из перечисленных предложений и развил на этой основе стройную аксиоматическую теорию, названную впоследствии евклидовой геометрией. Однако, если заменить предложение Евклида на любое из двух других предложений, можно построить другие не менее стройные аксиоматические теории.