Теоретические сведения к практической работе. Тема: Предел последовательности и предел функции

Практическая работа №2

Тема: Предел последовательности и предел функции. Замечательные пределы.

Цель: сформировать умение находить пределы последовательностей и пределы функций, использовать замечательные пределы для нахождения пределов.

Теоретические сведения к практической работе

Пусть существует последовательность действительных чисел . Число а называется пределом последовательности

Чтобы найти предел элементарной функции нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х = х ₀ принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х = х ₀. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения: если то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:

если если a >1.

Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:

Пример 1. Вычислить предел Решение

Пример 2. Вычислить предел

Пример3. Вычислить предел

Пример 4. Вычислить предел

Число А называют пределом функции f (x) при (и пишут ), если для любого найдется число зависящее от, такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Теоремы о пределах: 1. (c =const).

2. Если то:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел (число е = 2,718…):

или

Замечательные пределы:

Пример 5. Вычислить предел

Пример 6. Вычислить предел

Пример 7. Вычислить предел

Пример 8. Вычислить предел

Пример 9. Вычислить предел

Пример 10. Вычислить предел

Пример 11. Вычислить предел

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить пределы последовательностей:

Задание 2. Вычислить пределы функций:

Задание 3. Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы: