Билеты к экзамену по математике в 6 классе

Билет № 1

1. Делители и кратные

2. Решите задачу на проценты

3. Найти значение выражения

Билет № 2

1. Признаки делимости на 10, на 5, на 2, на 3, на 9

2. Решите задачу на составление пропорции

3. Упростить выражение

Билет № 3

1. Простые и составные числа. Разложение на простые множители

2. Решите задачу на составление уравнения

3. Вычислить значение выражения

Билет № 4

1. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное

2. Решите задачу на движение

3. Решить уравнение

Билет № 5

1. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

2. Решите задачу на построение в системе координат

3. Упростить выражение

Билет № 6

1. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

2. Решите задачу на проценты

3. Вычислить значение выражения

Билет № 7

1. Умножение и деление обыкновенных дробей

2. Решите задачу на составление пропорции

3. Найти значение выражения

Билет № 8

1. Пропорция. Основное свойство пропорции.

2. Решите задачу на составление уравнения

3. Упростить выражение

Билет № 9

1. Прямая и обратная пропорциональные зависимости величин

2. Решите задачу на движение

3. Решить уравнение

Билет № 10

1. Координатная прямая. Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа

2. Решите задачу на построение в системе координат

3. Найти значение выражения

Билет № 11

1. Целые числа. Сравнение чисел. Модуль числа

2. Решите задачу на проценты

3. Вычислить значение выражения

Билет № 12

1. Сложение рациональных чисел. Длина отрезка на координатной прямой

2. Решите задачу на составление пропорции

3. Решить уравнение

Билет № 13

1. Умножение и деление рациональных чисел

2. Решите задачу на составление уравнения

3. Вычислить значение выражения

Билет № 14

1. Рациональные числа. Свойства действий с рациональными числами

2. Решите задачу на движение

3. Найти значение выражения

Билет № 15

1. Раскрытие скобок

2. Решите задачу на построение в системе координат

3. Упростить выражение

Билет № 16

1. Коэффициент. Подобные слагаемые

2. Решите задачу на проценты

3. Решить уравнение

Билет № 17

1. Решение уравнений

2. Решите задачу на составление пропорции

3. Вычислить значение выражений

Билет № 18

1. Перпендикулярные прямые, их построение

2. Решите задачу на составление уравнения

3. Найти значение выражения

Билет № 19

1. Параллельные прямые, их построение

2. Решите задачу на движение

3. Упростить выражение

Билет № 20

1. Координатная плоскость

2. Решите задачу на построение в системе координат

3. Решить уравнение

Билет № 1. ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 печений. Не раскрывая пачек, можно взять 8 печений, 16 печений, 24 печенья, а 18 печений так взять нельзя. Числа 8, 16, 24 делятся на 8, а 18 на 8 не делится. Говорят, что числа 8, 16, 24 кратны числу 8, а число 18 не кратно числу 8.

Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится без остатка на а.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Например, первые пять чисел, кратных 8, такие: 8, 16, 24, 32, 40

Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

Билет № 2. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА 10, НА 5, НА 2, НА 3, НА 9.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа.

Число 10 = 2 • 5. Поэтому число 10 делится без остатка и на 2, и на 5. Отсюда и любое число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2. Например, 60 = 6-10 = 6-(2-5) = (6-2) «5 = 12-5, значит, 60: 5 = 12. А из того, что 60 = 6 «(5-2) = (6 «5) «2 = 30*2, получаем, что 60: 2 = 30.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без ос­татка на 5 не делится.

Например, числа 870 и 875 делятся без остатка на 5, а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся.

Числа, делящиеся без остатка на 2, называют четными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечетными. Из однозначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 четны, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечетны. Поэтому и цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 – нечетными. Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т. е. они четны). Значит, любое натуральное число четно лишь в случае, когда в разряде единиц стоит четная цифра, и нечетно, когда в разряде единиц стоит нечетная цифра.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число нечетно.

Например, числа 2, 60, 84, 96, 308 четные, а числа 3, 51, 85, 97, 509 нечетные.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА 3 и 9

Если сумма цифр числа делится на 3 (9), то и число делится на 3 (9); если сумма цифр числа не делится на 3 (9), то и число не делится на 3 (9).

Пример 1. Число 76 455 делится на 9, так как сумма его цифр: 7 + 6 + 4 + 5 + 5 = 27 – делится на 9.

Пример 2. Число 51 634 не делится на 9, так как сумма его цифр: 5 + 1+6 + 3 + 4 = 19 – не делится на 9.

Билет № 3. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ.

Число 7 делится только на 1 и само на себя. Другими словами, число 7 имеет только два делителя: 1 и 7. У числа 9 три делителя: 1, 3 и 9. Число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Такие числа, как 9 и 18, называют составными числами, а такие, как 7 – простыми числами.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.

Первыми десятью простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. На форзаце учебника приведена таблица простых чисел от 2 до 997.

Число 78 составное, потому что, кроме 1 и 78, оно делится, например, еще на 2. Так как 78: 2 = 39, то 78 = 2-39. Говорят, что число 78 разложено на множители 2 и 39.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя.

Билет № 3. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Число 210 является произведением чисел 21 и 10. Значит, 210 = 21 • 10. Числа 21 и 10 составные. Их тоже можно представить в виде произведений: 21 = 3 • 7, 10 = 2 • 5. Получаем: 210 = 3 • 7 • 2 • 5. Теперь в произведении 3 • 7 • 2 • 5 все множители – простые числа. Таким образом, число 210 разложено на простые множители.

Число 210 можно разложить на простые множители иным способом: 210 = 30-7 = 10-3«7 = 5«2-3-7. Получились те же самые простые множители, только записанные в другом по­рядке. Обычно записывают множители в порядке их возрастания: 210 = 2«3-5-7.

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости. Разложим, например, на простые множители число 756. Оно делится на 2, так как оканчивается четной цифрой 6. Имеем 756: 2 = 378. Проведем вертикальную черту и запишем слева от нее делимое 756, а справа делитель 2. Частное запишем под числом 756.

Число 378 тоже делится на 2. При делении получаем в частном 189. 189 не делится на 2, так как оканчивается нечетной цифрой. Но 189 делится на 3, так как сумма его цифр (1 + 8 + 9 = 18) делится на 3. Имеем 189: 3 = 63.Число 63 также делится на 3. При делении получим число 21. Число 21 также делим на 3, причем получаем в частном простое число 7.При делении числа 7 на 7 получаем 1. Разложение на множители закончено. Значит, 756 = 2*2*3*3*3*7.

Билет № 4. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ.

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и в, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Найдем наибольший общий делитель чисел 24 и 35. Делителями 24 будут 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут 1, 5, 7, 35.Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий де­литель – число 1. Такие числа называют взаимно простыми.

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Наибольший общий делитель можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:

48 = 2-2-2-2-3, 36 = 2*2*3*3.

Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).

Остаются множители 2*2*3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трех и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел; 3) найти произведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.

Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и в называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и в.

Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3*5-5, а 60 = 2-2-3-5. Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из раз­ложения второго числа.

Получаем пять множителей 2 • 2 • 3 • 5 • 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трех и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Билет № 5. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ. СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ.

Разделим круг на 4 равные части и 3 из них закрасим, а потом каждую четверть круга разделим еще на 5 равных частей (рис. 8). Тогда весь круг окажется разделенным на 4 • 5 = 20 частей, а в трех закрашенных четвертях круга будет 3 • 5 таких частей.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Это свойство называют основным свойством дроби.

Например, 2/5 = 4/10; 9/15 = 3/5; 16/8 = 2/1

Две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.

Равенство двух дробей можно читать разными способами. Например, равенство -3/7 = 9/21 можно прочитать так: - дробь три седьмых равна дроби девять двадцатых первых и.п. д.п. - дроби три седьмых и девять двадцать первых равны три седьмых равны девяти двадцать первым и.п. д.п.

СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Дробь 3/4 сократить нельзя, так как числа 3 и 4 взаимно простые. Такую дробь называют несократимой.

Наибольшее число, на которое можно сократить дробь, - это наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя.

Примеры

Билет № 6. СРАВНЕНИЕ, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

Мы умеем сравнивать, складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.

Примеры

Для сложения и вычитания дробей верны изученные ранее свойства этих действий. Они иногда помогают упрощать вычисления.

Пример

При сравнении дробей первую из них читают в именительном падеже, а вторую - в дательном либо добавляют слово дробь и не изменяют названия дробей.   Например, запись 4/90 ‹ 9/45 читают: - четыре девяностых меньше шести сорок пятых и. п р. п. - дробь четыре девяностых меньше дроби шесть сорок пятых и. п в. п.

Суммы и разности дробей можно читать разными способами, Например:   2/3 + 3/5- сумма двух третьих и трех пятых   к двум третьим прибавить три пятых сумма дробей две третьих и три пятых   2/3 – 3/5 - из двух третьих вычесть три пятых   - разность дробей две третьих и три пятых

Билет № 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;

2) первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.

Обычно вначале обозначают произведение числителей и произведение знаменателей, затем производят сокращение и только потом выполняют умножение. В ответе, если это возможно, из дроби исключают целую часть.

Примеры

Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Пример

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно: 1) умножить целую часть на натуральное число; 2) умножить дробную часть на это натуральное число; 3) сложить полученные результаты.

Пример

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Пример

НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ

Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения.

Пример

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умно­жить на число, обратное делителю.

Пример

НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.

Билет № 8. ПРОПОРЦИЯ. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ.

Отношения 3,6: 1,2 и 6,3: 2,1 равны, так как значения частных равны 3.

Поэтому можно записать равенство 3,6: 1,2 = 6,3: 2,1, или 3,6/1,2 = 6,3/2,1

Равенство двух отношений называют пропорцией.

С помощью букв пропорцию записывают так: а: b = с: d или: а / b = с / d

Эти записи читают так: «Отношение а к b равно отно­шению с к d или а так относится к b, как с относится к d».

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Верно и обратное утверждение: если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.

Пример

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.

Пример

Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если все остальные члены известны.

Пример

Билет № 9. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЕЛИЧИН

ЗАДАЧА

Если станок с числовым программным управлением за 2 ч изготовляет 28 деталей, то за вдвое большее время, т. е. за 4 ч, он изготовит вдвое больше таких деталей, т. е. 28 • 2 = 56 деталей. Во сколько раз больше времени будет работать станок, во столько раз больше деталей он изготовит. Значит, равны отношения 4: 2 и 56: 28. Следовательно, верна пропорция 4:2 = = 56: 28. Такие величины, как время работы станка и число изготовленных деталей, называют прямо пропорциональными величинами.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

ЗАДАЧА

Пусть путь из города А в город В поезд со скоростью 40 км/ч проходит за 12 ч. Бели скорость движения увеличить вдвое, т. е. сделать ее равной 80 км/ч, то на этот же путь поезд затратит вдвое меньше времени, т. е. 6 ч. Во сколько раз увеличится скорость движения, во столько же раз уменьшится время движения. В этом случае отношение 80: 40 будет равно не отношению 6: 12, а обратному отношению 12: 6. Следовательно, верна пропорция 80: 40 = 12: 6. Такие величины, как скорость и время, называют обратно пропорциональными величинами.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответ­ствующих значений другой величины.

Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребенка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребенка не удваивается.

Задачи на пропорциональные величины можно решить с помощью пропорции.

Билет № 10. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ЧИСЛА.

Точка О на прямой АВ (рис. 48) разбивает эту прямую на два дополнительных луча ОА и ОВ. Выберем единичный отрезок и примем точку О за начало отсчета. Тогда положение точки на каждом из лучей задается ее координатой. Чтобы отличить друг от друга координаты на этих лучах, условились ставить перед координатами на одном луче знак «+», а перед координатами на другом луче знак «-».

Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ЧИСЛА

Точки с координатами 5 и - 5 (рис. 61) одинаково удалены от точки О и находятся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки О в эти точки, надо пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях. Числа 5 и - 5 называются противоположными числами: 5 противоположно - 5, а - 5 противоположно 5.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Для каждого числа есть только одно противоположное ему число.

Число 0 противоположно самому себе.

Число, противоположное числу а, обозначают - а. Если а = - 7,8, то - а = 7,8; Запись «- (-15)» означает число, противоположное числу - 15. Так как число, противоположное числу -15, равно 15, то -(-15) = 15. Вообще -(-а) = а.

Билет № 11. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ. МОДУЛЬ ЧИСЛА

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами.

ПРИМЕРЫ

Вчера в комнате термометр показывал 18°С, а сегодня показывает 21°С. Вчера в комнате было холоднее, чем сегодня. Число 18 меньше числа 21. Можно записать: 18 < 21. Вчера на улице термометр показывал - 15°С, а сегодня он показывает - 9°С. Вчера было холоднее, чем сегодня. Поэтому считают, что - 15 меньше - 9. Пишут: - 15 < - 9. Вчера на улице термометр показывал - 10°С, а сегодня он показывает 5°С. Вчера было холоднее, чем сегодня. Число - 10 меньше числа 5. Пишут: -10 < 5.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа.

Например -7,5 < 3, так как число -7,5 отрицательное, а число 3 положительное; -15 < -9, так как числа -15 и -9 отрицательные и модуль -15 больше модуля -9, т.е.

На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

МОДУЛЬ ЧИСЛА

Расстояние точки М (- 6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам Число 6 называют модулем числа - 6. Пишут: | - 6 | = 6.

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а).

Модуль числа 5 равен 5, так как точка В (5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков.

Пишут: | 5 | = 5.

Модуль числа О равен О, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета О,

т.-е. удалена от нее на 0 единичных отрезков. Пишут: | 0 | = 0.

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного - противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: \ - а | = | а \.

Билет № 12. СЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ДЛИНА ОТРЕЗКА НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ.

Прибавить к числу а число в - значит изменить число а на в единиц.

ПРИМЕР

СЛОЖЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Пусть температура воздуха была равна - 6°С, а потом она изменилась на - 3°С (т. е. понизилась на 3°С). -6 + (-3) = - 9.

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) сложить их модули; 2) поставить перед полученным числом знак «-».

ПРИМЕРЫ

Сумму, в которую входят отрицательные числа, читают так: (- 4) + (- 6) - сумма минус четырех и минус шести - к минус четырем прибавить минус шесть

СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ С РАЗНЫМИ ЗНАКАМИ

Если температура воздуха была равна 9°С, а потом она изменилась на - 6°С (т. е. понизилась на 6°С), то она стала равной 9 + (- 6) = 3. Число 3 имеет тот же знак, что и слагаемое 9, а его модуль равен разности модулей слагаемых 9 и - 6.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Обычно сначала определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей

ПРИМЕРЫ

Задача.

Чему равна длина отрезка АВ, если А (- 5) и В (9)?

Решение.

Длина отрезка АВ показывает, на сколько единичных отрезков надо переместить вправо точку А, чтобы она перешла в точку В, т. е. сколько надо прибавить к числу - 5, чтобы получилось число 9. Поэтому если обозначить длину отрезка АВ буквой х, то - 5 + х = 9. Отсюда х = 9 - (- 5); х = 14. Значит, длина отрезка равна 14 единичным отрезкам.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Пусть точка А (а), В(в), тогда длина отрезка АВ =| а-в | = | в-а |.

Билет № 13. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

УМНОЖЕНИЕ

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «-».

ПРИМЕР

Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули

ПРИМЕР

ДЕЛЕНИЕ

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Например, -4,5: (-1,5) = 4,5: 1,5 = 3;

При делении чисел с разными знаками надо:

разделить модуль делимого на модуль делителя;

поставить перед полученным числом знак «-».

Обычно вначале определяют и записывают знак частного, а потом уже находят модуль частного.

Например, 3,6: (-3) - - (3,6: 3) = -1,2;

При делении нуля на любое число, не равное нулю, получает­ся нуль.

Делить на нуль нельзя!

Частное, в которое входят отрицательные числа, читают так: -54: (-2,7) - частное минус пятидесяти четырех и минус двух целых семи десятых - минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых - частное минус шести эм и минус трех - минус шесть эм разделить на минус три   Равенство, содержащее отрицательные числа, читают так: - минус две седьмых икс равны минус четырем одиннадцатым

Билет № 14. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Число, которое можно записать в виде отношения m / n, где m - целое число, a n - натуральное число, называют рациональным числом.

Любое целое число а является рациональным числом, так как его можно записать в виде а / 1.

Сумма, разность и произведение рациональных чисел тоже рациональные числа.

Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.

Вы уже умеете выражать некоторые обыкновенные дроби в виде десятичных дробей.

Не все обыкновенные дроби можно представить в виде десятичной дроби.

Например, если будем делить 1 на 3, то получим сначала нуль целых, потом три десятых, а далее при делении все время будут повторяться остаток 1 и в частном цифра 3.

Деление никогда не кончится. Значит, дробь - нельзя представить в виде десятичной дроби. Но если разрешить писать бесконечные десятичные дроби, то 1:3 = 0,333...вместо 0,333... пишут 0,(3)

Любое рациональное число можно записать либо в виде десятичной дроби (в частности, целого числа), либо в виде периодической дроби.

СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если a, b и с - любые рациональные числа, то а + в = в + а, а + (в + с) = (а + в) + с.

Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем: а + 0 = а, а + (- а) = 0.

Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами. Другими словами, если а, Ь и с - любые рациональные числа, то ab = ba, a(bc) = (ab)c.

Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1. Значит, для любо­го рационального числа а имеем:

а • 1 = а, а* 1/а = 1, если а ≠ 0.

Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем: а * 0 = 0.

Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю: если а • в= 0, то либо а = 0, либо в= 0 (может случиться, что и а = 0, и b = 0). Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел а, b и с имеем: (a + b) • с = ас + bc.

Билет № 15. РАСКРЫТИЕ СКОБОК

Выражение а + (b + с) можно записать без скобок: а + (b + с) = = а + b + с. Эту операцию называют раскрытием скобок.

Пример 1. Раскроем скобки в выражении а + (- b + с).

Решение.

с + (- b + с) = о + ((- b) + с) = а + (- b) + с = а - b + с. Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «+».

Пример 2. Найдем значение выражения -2,87 + (2, 87 - 7,639).

Решение. Раскрывая скобки, получим -

-2,87 + (2,87 - 7,639) = - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

Чтобы найти значение выражения - (- 9 + 5), надо сложить числа - 9 и 5 и найти число, противоположное полученной сумме: - (- 9 + 5) = - (- 4) = 4.

То же значение можно получить по-другому: вначале записать числа, противоположные данным слагаемым (т. е. изменить их знаки), а потом сложить: 9 + (- 5) = 4.

Таким образом, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых. Значит, - (а + b) = - а - b.

Пример 3. Найдем значение выражения 16 - (10 - 18 + 12).

Решение.

16 - (10 - 18 + 12) = 16 + (-(10 - 18 + 12)) = = 16 + (-10 + 18 - 12) = 16 - 10 + 18 - 12 = 12.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех сла­гаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Билет № 16. КОЭФФИЦИЕНТ. ПОДОБНЫЕ СЛАГАЕМЫЕ

Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют упрощать выражения.

Пример 1. Упростим выражение 0,3a •(- 0,7b).

Решение. Это выражение является произведением четырех множителей: 0,3а *(-0,7b). Сгруппировав отдельно числовые и отдельно буквенные множители, получим:

0,3а(-0,7b) = 0,3а(-0,7b) = = (0,3(-0,7))(аb) = -0,21аb.

Число -0,21 называют коэффициентом в полученном выражении.

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом).

Коэффициент обычно пишут перед буквенными множителями. Коэффициентом такого выражения, как а или аb, считают 1, так как а = 1 а; аb = 1 аb. При умножении -1 на любое число а получается число - а: - 1 а = -а.

Поэтому числовым коэффициентом выражения - а считают число -1..

ПОДОБНЫЕ СЛАГАЕМЫЕ

Распределительное свойство умножения (с + b) • с =ас + bc справедливо для любых чисел а, b и с.

Замену выражения (а + b) • с выражением ас + bc или выражения с • (a + b) выражением са + сb также называют раскрытием скобок.

Пример 1. Раскроем скобки в выражении - 3 • (а – 2b).

Решение. Умножим - 3 на каждое из слагаемых а и – 2b. Получим - 3 • (а - 26) = - 3 • а + (- 3) • (- 2b) = - Зс + 6b.

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Подобные слагаемые могут отличаться только коэффициентами.

Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Выражения вида 7х - Зх + 6х - 4х читают так: - сумма семи икс, минус трех икс, шести икс и минус четырех икс - семь икс минус три икс плюс шесть икс минус четыре икс

Билет № 17. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Билет № 18. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ, ИХ ПОСТРОЕНИЕ.

Билет № 19. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ИХ ПОСТРОЕНИЕ

Билет № 20. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ.