Касательная плоскость

Касательная плоскость в точке поверхности.

Касательная плоскость в точке гладкой поверхности — это плоскость, имеющая максимальный порядок соприкосновения с поверхностью в этой точке. Эквивалентный вариант определения: касательная плоскость есть плоскость, содержащая касательные ко всем гладким кривым, проходящим через эту точку.

Пусть гладкая кривая на параметрически заданной поверхности задана в виде:

.

Направление касательной к такой кривой даёт вектор:

Отсюда видно, что все касательные ко всем кривым в данной точке лежат в одной плоскости, содержащей векторы , которые мы выше предположили независимыми.

Уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:

(смешанное произведение векторов).

В координатах уравнения касательной плоскости для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

	касательная плоскость к поверхности в точке
неявное задание
явное задание
параметрическое задание