Метод множителей Лагранжа для решения задач нелинейного программирования

Пусть решается задача опр-я усл.экстремума f-и

при огранич-ях =0. Составим f-ю

, ктр наз-ся f-ей Лагранжа. - постоян.множ-ли (множ-ли Лагранжа). Отметим, что множ-лям Лагранжа можно придать эк.смысл. Если - доход, соотв-щий этому плану, то - цена (оценка) i-го ресурса, хар-щая изменение экстремального знач-я целевой f-и в завис-ти от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка). L(X) – f-я n+m переменных (. Опр-е стац.точек этой f-и приводит к решению сис-мы ур-й: . Легко заметить, что , т.е. в это ур-ие входит ур-ие связи. Т.о., задача нахождения усл.экстремума f-и сводится к нахождению локал.экстремума f-и L(X). Если стац.точка найдена, то вопрос о сущ-и экстремума в прост.случаях решается на основании дост.условий экстремума – исследования знака II диф-ла в стац.точке при условии, что переменные приращения связаны соотнош-ями: , i=1,2,m, полученными путем диф-ния ур-ий связи. Для решения примеров, необх-мо найти усл.глобал.экстремум. Ур-ие связи приравнивается к 0. Составл-ся f-ю Лагранжа, нах-ся част.производные этой f-и по . Приравниваем их к 0 и получаем сис-му. Решая ее, получаем стац.точки, в ктр нах-ся знач-я f-и Z. Выбираем из всех знач-й z наиб.и наим.

15. Ос-е понятия динам-го программ-я: шаговое управление, управл-е операцией в целом, оптимальное управление, выигрыш на данном шаге, выигрыш за всю опер-ю, аддитивный критерий.

ДП – метод оптимизации, приспособленный к операциям, в ктр процесс принятия решения может быть разбит на шаги. Такие операции наз-ся многошаговыми. Начало развития ДП относ-ся к 50-м годам ХХв. Представим себе некоторую операцию, распадающуюся на ряд послед-ных «шагов» или «этапов» - # деят-ть отрасли пром-ти в течение ряда хоз.лет. Пусть эф-ть операции хар-ся каким-то показ-лем W, ктр для краткости наз-ся «выигрышем». Предположим, что выигрыш за всю операцию складыв-ся из выигрышей на отд.шагах: , где w_i – выигрыш на t-м шаге. Если W обладает таким св-вом, то его наз-ют «аддитивным критерием». Операция, о ктр идет речь, предст-ет собой упр-мый процесс, т.е. мы можем выбирать какие-то пар-ры, влияющие на его ход и исход, причем на кажд.шаге выбир-ся какое-то реш-е, от ктр зависит выигрыш на дан.шаге и выигрыш за операцию в целом. Будем наз-ть это реш-е «шаговым упр-ем». Совок-ть всех шаг.упр-й предст-ет собой упр-е операцией в целом. Обозначим его буквой х, а шаг.упр-я – буквами : х=(), где - не числа, а может быть, векторы, f-и. Требуется найти такое упр-е х, при ктр выигрыш обращ-ся в max: . То упр-е х*, при ктр этот max достиг-ся, наз-ся оптим.упр-ем. Оно состоит из совок-ти оптим.шаг.упр-й: х*=(). Тот max выигрыш, ктр достиг-ся при этом упр-и, обознач-ся W*: W*=max{W(x)} (величина W* есть max из всех W(x) при разных упр-ях х (max берется по всем упр-ям х, возможным в дан.усл-ях).