Второй замечательный предел (доказательство)

Ответ:

Докажем, что для любого действительного x имеет место так же равенство

.

Доказательство. Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x → ∞. По свойству для неравенств имеем

.

Прибавим ко всем частям неравенств единицу

.

По свойству степеней имеем

Так как

и

,

то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и

,

что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично.

14. О -символика.

Ответ:

Пусть f (x) и g (x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x ₀, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

• f является «O» большим от g при , если существует такая константа C > 0, что для всех x из некоторой окрестности точки x ₀ имеет место неравенство

;

• f является «о» малым от g при , если для любого ε > 0 найдется такая проколотая окрестность точки x ₀, что для всех имеет место неравенство

Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x ₀ ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при .

Обычно выражение «f является „O“ большим („о“ малым) от g» записывается с помощью равенства f (x) = O (g (x)) (соответственно, f (x) = o (g (x))).

Это обозначение очень удобно, но требует некоторой осторожности при использовании (а потому в наиболее элементарных учебниках его могут избегать). Дело в том, что это не равенство в обычном смысле, а несимметричное отношение.

В частности, можно писать

f (x) = O (g (x)) (или f (x) = o (g (x))),

но выражения

O (g (x)) = f (x) (или o (g (x)) = f (x))

бессмысленны.

Другой пример: при x → 0 верно, что

O (x ²) = o (x),

но неверно, что

o (x) = O (x ²).

Вместо знака равенства методологически правильнее было бы употреблять знаки принадлежности и включения, понимая O () и o () как обозначения для множеств функций, то есть, используя запись в форме

x ² + x ³ ∈ O (x ²)

или

вместо, соответственно,

x ² + x ³ = O (x ²)

и

Однако на практике такая запись встречается крайне редко, в основном, в простейших случаях.