Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений можно использовать любой из следующих способов рассуждений.

1-й способ. Решать уравнение, используя любые преобразования (кроме сужающих его область определения), затем обязательно выполнять проверку для того, чтобы отбросить посторонние корни. Причём проверку необходимо проводить непосредственной подстановкой в исходное уравнение; при этом находить область определения уравнения полезно только в том случае, когда надо отбросить часть корней, тем самым упростив непосредственную подстановку в уравнение.

К преобразованиям, сужающим или расширяющим область определения логарифмических уравнений, относятся:

1. Логарифмирование обеих частей уравнения;

2. Извлечение корня четной степени;

3. Потенцирование.

2-й способ. Для решения логарифмических уравнений использовать только равносильные преобразования.

Схемы равносильных преобразований

при решении уравнений

Для различных видов простейших логарифмических уравнений существуют свои схемы преобразований:

1.

Замечание. При этом способе решения нахождение области определения уравнения необязательно.

2.

При этом указанная равносильная система является избыточной, т.е. одно из неравенств, входящее в нее, может быть исключено.

Таким образом, мы получим следующие схемы преобразования:

Или, если неравенство решить сложно, а проще решить неравенство , то используем следующую схему:

Любое уравнение можно преобразовать, и его решение будет сведено к решению уравнения одного из видов, приведенных выше