Правила введения и удаления логических операций

При выводе заключения удобно правила введения и удаления логических операций представить также как и правила вывода:

1) если посылки F ₁ и F ₂ имеют значение “истина”, то истинной является их конъюнкция, т.е. . Эта запись при истинности посылок F ₁ и F ₂ предусматривает возможность введения в заключение логической операции конъюнкции;

2) если имеет значение “истина”, то истинными являются подформулы F ₁ и F ₂, т.е. .

Эта запись при истинности предусматривает возможность удаления в заключении логической операции конъюнкции и рассматривать истинные значения подформул F ₁ и F ₂; это правило тождественно аксиомам 3 и 4;

3) если F ₁ имеет значение “истина”, а – “ложь”, то ложной является подформула F ₂, т.е. . Эта запись при ложности и истинности одной из подформул предусматривает возможность удаления в заключении логической операции конъюнкции и рассматривать ложным значение второй подформулы;

4) если истинна хотя бы одна посылка F ₁ или F ₂, то истинной является их дизъюнкция, т.е.

Или.

Эта запись при истинности хотя бы одной подформулы F ₁ или F₂ предусматривает возможность введения в заключение логической операции дизъюнкции; это правило тождественно аксиомам 6 и 7;

5) если имеет значение “истина” и одна из подформул F ₁ или F ₂ имеет значение “ложь”, то истинной является вторая подформула F ₂ или F ₁, т.е.

Или.

Эта запись при истинности предусматривает возможность удаления в заключении логической операции дизъюнкции и рассматривать истинные значения подформул F ₁ или F ₂;

6) если подформула F ₂ имеет значение “истина”, то истинной является формула F ₁® F ₂ при любом значении подформулы F ₁, т.е. . Эта запись при истинном значении F ₂ предусматривает возможность введения в заключение логической операции импликации при любом значении подформулы F ₁ (“истина из чего угодно”). Это правило тождественно аксиоме 1;

7) если подформула F ₁ имеет значение “ложь”, то истинной является формула F ₁® F ₂ при любом значении подформулы F ₂

.

Эта запись при ложном значении F ₁ предусматривает возможность введения в заключение логической операции импликации при любом значении подформулы F ₂ (“из ложного что угодно”);

8) если формула F ₁® F ₂ имеет значение “истина”, то истинной является формула , т.е. .

Эта запись при истинном значении F ₁® F ₂ определяет возможность замены местами полюсов импликации при одновременном изменении их значений. Это закон контрапозиции;

9) если формула F ₁® F ₂ имеет значение “истина”, то истинной является формула (F ₁ Ú F ₃)®(F ₂ Ú F ₃) при любом значении F ₃, т.е.

Эта запись при истинном значении F ₁® F ₂ определяет возможность выполнить операцию дизъюнкции при любом значении формулы F ₃ над каждым полюсом импликации.

10) если формула F ₁® F ₂ имеет значение “истина”, то истинной является формула (F ₁ Ù F ₃)®(F ₂ Ù F ₃) при любом значении F ₃, т.е.

.

Эта запись при истинном значении F ₁® F ₂ определяет возможность выполнить операцию конъюнкции при любом значении формулы F ₃ над каждым полюсом импликации;

11) если формулы (F ₁® F ₂) и (F ₂® F ₃) имеют значение “истина”, то истинной является формула (F ₁® F ₃), т.е.

.

Эта запись при истинном значении (F ₁® F ₂) и (F ₂® F ₃) предусматривает возможность формирования импликации (F ₁® F ₃) (закон силлогизма).