Аналитическая версия

Положим, что каждый дуополист (во всех отношениях идентичный сопернику) стремится к максимизации своей прибыли, исходя из предположения, что другой дуополист не будет изменять выпуска, каким бы ни был его собственный выпуск. Иными словами, примем, что предположительные вариации каждого имеют нулевую оценку. Допустим, что обратная функция рыночного спроса линейна:

P = a - bQ, (1) где

Q = q ₁ + q ₂. (2)

Подставив (2) в (1), получим

P = a - b (q ₁ + q ₂). (2*)

Тогда прибыли дуополистов можно представить как разности между выручкой и затратами на выпуск каждого из них:

п₁ = TR₁ - cq ₁ = Pq ₁ - cq ₁, (3)
п₂ = TR₂ - cq ₂ = Pq ₂ - cq ₂

Подставив в правые части (3) значение Р из (2*), получим

п₁ = aq ₁ - bq ₁² - bq ₁ q ₂ - cq ₁, (4)

п₂ = aq ₂ - bq ₂² - bq ₁ q ₂ - cq ₂.

Условием максимизации прибылей дуополистов будет равенство нулю первых производных уравнений (4), (4*):

dp₁/d q ₁ = a - 2 bq ₁ - bq ₂ - c = 0, (5)

dp₂/d q ₂ = a - 2 bq ₂ - bq ₁ - c = 0. (5*)

Уравнения (11.10), (11.10*) могут быть переписаны так:

2 bq ₁ + bq ₂ + c = a, (6)

2 bq ₂ + bq ₁ + c = a. (6*)

Откуда после несложных преобразований получим

q ₁ = (a - c)/2 b - 1/2 q ₂, (7)

q ₂ = (a - c)/2b - 1/2 q ₁. (7*)

Это и есть уравнения кривых реагирования дуополистов.

Пример. Известны функции издержек двух фирм, действующих на дуопольном рынке: . Рыночный спрос . Найдите параметры состояния равновесия Курно.

Решение. Рыночный спрос удовлетворяется за счет выпуска обеих фирм, значит, . В этом случае цена продукции равна . Доход каждой из фирм определим как произведение ее выпуска и цены, тогда их прибыли равны: , . Запишем необходимые условия оптимальности:

Используя условия дуополии Курно , получаем систему

Отсюда . Равновесная цена есть

Пример. В условиях дуополии Курно рыночный спрос задается соотношением , а каждая фирма имеет постоянные предельные издержки, равные 10. Найдите объем производства каждой фирмы в состоянии равновесия.

Решение. Так как спрос удовлетворяется за счет выпуска обеих фирм, то , отсюда . Доходы фирм определим как и , а их издержки (используя данные о предельных издержках) - как и , где a, b - некоторые константы. Прибыли фирм равны разности их доходов и издержек, а, приравнивая к нулю их производные по выпуску и учитывая условия дуополии Курно , получаем систему

Отсюда найдем оптимальные выпуски фирм в состоянии равновесия Курно: .