Інтегральне числення 1 страница

.

Якщо ця границя існує, то кажуть, що функція f(x,y) має частинну похідну за у в точці . Цю частинну похідну позначають , або , aбo , або .

Кажуть, що функція має частинну похідну у відкритій області D, якщо вона має частинну похідну в кожній точці цієї області.

Частинну похідну функції кількох змінних обчислюють за тими самими правилами, що й звичайну похідну.

Приклад. Знайти і , якщо .

Розв'язання. Частинну похідну за х цієї функції обчислюють при у = const, тобто вона є похідною степеневої функції:

.

Частинну похідну за у цієї функції обчислюють при х = const, тобто , вона є похідною показникової функції:

4. Повний диференціал. З визначення повного приросту функції z = f(x,у) (див. вище) маємо

. (36)

Припустімо, що f(х,у) у точці (х,у) має неперервні частинні похідні. З'ясуємо, який вираз має через частинні похідні. Для цього у правій частині (36) додамо і віднімемо f(x,y +Dу):

. (37)

Вираз (f(x,y + Dу) - f(x,y)) можна розглядати як різницю двох значень функції однієї змінної у (значення x залишається сталим). Застосовуючи до цієї різниці теорему Лагранжа, маємо

, (38)

де у розташовано між у і у + Dу.

Так само вираз, який стоїть у перших дужках рівності (37), можна розглядати як різницю двох значень функції однієї змінної х (другий аргумент залишається сталим і має значення у + Dу). Застосовуючи до цієї рівниці теорему Лагранжа, маємо:

, (39)

де х₁ розташовано між х і х + Dх.

Одержані вирази (38) і (39) підставимо у (37), матимемо

. (40)

Оскільки було припущення, що частинні похідні існують і неперервні, то

, (41)

(тому що х₁ і у₁ розташовані відповідно між х і х + Dх, у і у +Dу, то коли і х₁ і у₁ прямують до х і у відповідно). За визначенням границі, рівності (41) можна переписати у вигляді:

,

,

коли і прямують до нуля величини і теж прямують до нуля. Останнє дає можливість переписати вираз (40) у вигляді:

. (42)

Сума останніх двох членів рівності (42) є нескінченно малою величиною. З рівності (42) випливає, що коли функція f(x,y) має неперервні частинні похідні у даній точці, то вона диференційовна у цій точці і має повний диференціал

.

Рівність (42) можна переписати у вигляді

,

і з точністю до нескінченно малих вищого порядку маємо приблизну рівність

. (43)

Прирости незалежних змінних і є диференціалами незалежних змінних х і у, які позначають відповідно через dx і dy. Тоді вираз повного диференціалу матиме вигляд

. (44)

Приклад. Знайти повний диференціал функції .

Розв'язання.

.

Зауваження. Рівність (43) використовують для наближених обчислень значень функції z = f(x,y). Для цього вираз (36) перепиcують у вигляді

, (45)

а потім, маючи на увазі (43), замість підставимо у (45) вираз (44). Матимемо формулу для наближених обчислень:

, (46)

яка має точність до нескінченно малих вищого порядку малості відносно Δх і Δу.

Приклад. Знайти наближене значення .

Розв'язання. Розглянемо функцію . Знайдемо її повний диференціал:

.

Тут: ; ; і . Отже

.

Тоді

.

5. Частинні похідні складної функції. Припустимо, що у рівнянні

(47)

u і v є неперервними функціями незалежних змінних x і у.

, . (48)

Звичайно, z можна виразити і безпосередньо через х і у таким чином:

, (49)

але це може призвести до дуже складної функції.

Припустимо, що функції F(u,v), φ(x,y), ψ(х,у) мають неперервні частинні похідні за усіма своїми аргументами. Поставимо задачу: обчислити і , відштовхуючись від рівнянь (47) і (48).

Дамо аргументу х приріст , зберігаючи значення у незмінним. Тоді в силу рівнянь (48) u і ν одержать прирости і .

Але якщо u і ν одержать прирости і , то функція одержить приріст , який обчислюють за формулою (42):

.

Розділимо усі члени цієї рівності на :

.

Якщо , то і (u і ν неперервні). Тоді і , . Зробивши граничний перехід, коли , маємо:

; ; ;

; .

і, отже,

. (50)

Аналогічні перетворення з аргументом у дає:

. (51)

Для випадку більшого числа змінних формули (50) і (51) звичайним чином узагальнюють.

6. Повна похідна. Якщо маємо функцію z = F(x,y,u,v), де у, u, і ν у свою чергу залежать від одного аргументу х:

, , ,

то фактично z є функцією тільки однієї змінної x, можна ставити питання про визначення повної похідної dz/dx. Ця похідна обчислюється за формулою (50):

, (52)

де , а так як y, u і ν - є функції одного х, то частинні похідні перетворюються у звичайні. Остання формула має назву повної похідної.

Приклад, , ,

, , .

За формулою (52) маємо:

.

7. Повний диференціал складної функції.

Підставимо вирази (50) і (51) у формулу (44) повного диференціала

. (53)

Маємо

.

Зробимо такі перетворення правої частини:

. · (54)

Але

, . (55)

Рівність (54) з урахуванням рівностей (55) можна переписати так:

, або . (56)

Розглядаючи (53) і (56), можемо сказати, що вираз повного диференціала функції декількох змінних має той же вигляд, тобто форма диференціала інваріантна, чи є v i u незалежними змінними або функціями незалежних змінних.

Приклад. Знайти повний диференціал складної функції:

, де і .

Розв'язання. За формулою (56) маємо

Останній вираз можна перетворити до вигляду:

8. Похідна функції, заданої неявно.

1) Розглянемо функцію F(x,y) = 0.

Теорема. Нехай функція у від х дана неявно і F(x,y), (x,y), (x,y) - неперервні функції у деякій області D, координати (x,y) довільної точки задовольняють рівнянню F(x,y) = 0, крім того, у цій точці . Тоді: .

Доведення. Нехай деякому значенню х відповідає значення функції у і при цьому F(x,y) = 0. Дамо незалежній змінній х приріст . функція у матиме приріст , тобто значенню аргументу відповідає значення функції . Оскільки F(x,y) = 0 будемо мати F( , ) = 0. Отже:

F( , ) – F(x,y) = 0.

Зліва повний приріст функції двох змінних, який можна переписати так (див. вище):

,

де і прямують до нуля, коли і прямують до нуля. Розділимо останню рівність на і обчислимо / :

.

Спрямуємо до нуля. Тоді, маючи на увазі, що при цьому і теж прямують до нуля і що , у границі матимемо

. (57)

Довели існування похідної від функції, заданої неявно, і знайшли формулу для її обчислення.

Приклад. Рівняння визначає у як неявну функцію від х. Тут

F(x,y) = ; ; .

Отже, за формулою (57)

.

2) Розглянемо функцію

F(x,y,z) = 0. (58)

Якщо кожній парі чисел х і у у деякій області відповідає одне або декілька значень z, які задовольняють (58), то це рівняння неявно визначає одну або декілька однозначних функцій z від х і у.

Приклад. Рівняння неявно визначає дві неперервні функції z від х і у, які можна виразити явно, розв'язавши відносно z. У цьому разі маємо:

і .

Знайдемо частинні похідні функції z від х і у, що визначається рівнянням (58). Коли шукаємо , вважаємо у сталим. Тому тут можна застосувати формулу (57), якщo незалежною змінною вважати х, а функцією z. Отже,

. (59)

Так само знаходимо

. (60)

Припускається, що .

Аналогічно визначають частинні похідні неявних функцій більшого числа змінних.

Приклад. Обчислити частинні похідні функції

.

Розв'язання. Тут F(х, у, z) = ,

; ; .

Отже,

, .

9. Частинні похідні вищих порядків. Якщо функція z = f(х,у) має в усіх точках деякої відкритої області D частинну похідну за однією із змінних, то ця похідна, сама є функцією цих змінних і може, в свою чергу, мати частинні похідні по х або по у. Для даної функції z = f(х,у) ці похідні є частинними похідними другого порядку.

Так, розглянемо границю

Якщо ця границя існує, то кажуть, що функція має другу частинну похідну за х. Цю похідну позначають , або , або , або . Аналогічно визначають похідні , , . Похідні і звуть мішаними частинними похідними.

Похідні другого порядку можна знову диференціювати. Матиме частинні похідні третього порядку, їх буде, очевидно, вже вісім: , , , ….

Взагалі, частинна похідна п -го порядку є перша похідна від похідної (n-1)- гo порядку.

Приклад. Обчислити , якщо .

Розв'язання. Послідовно маємо:

; ; .

Природно поставити запитання, залежить чи результат диференціювання від послідовності диференціювання по різним змінним, тобто, чи будуть, наприклад, тотожньо рівними похідні і . На це питання відповідає теорема.

Теорема. Якщо функція z = f(x,y) і її частинні похідні , , , визначені, неперервні у точці М (x,y) ів деякій її околі, то в цій точці

, ( = ).

Доведення. Розглянемо вираз

.

Якщо введемо допоміжну функцію , визначену рівністю

,

то А можна записати у вигляді

.

Оскільки, припустили, що визначена у околі точки М(х,у), то, отже, диференційовна на відрізку ; але тоді за теоремою Лагранжа маємо , де х₁, знаходиться між х та . Але

.

Оскільки визначена у околі точки М(х,у), то диференційовна на відрізку [у, у +Δу], тому, застосувавши до останньої різниці знову теорему Лагранжа (по змінній у), матимемо

,

де знаходиться між у та .

Отже, початковий вираз А дорівнює

. (61)

Якщо у початковому виразі А переставимо середні члени і виконаємо з цим виразом аналогічні перетворення, дістанемо

, (62)

де деяка точка у околі точки М(х,у).

Ліві частини рівностей (61) і (62) дорівнюють А, отже, дорівнюють і праві, тобто

,

звідки

,

Перейдемо до границі коли і , маємо

,