Экономические приложения дифференциальных уравнений второго порядка

Пример 12.31.

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят и от тенеденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P(t).

Пусть функция спроса D и предложение S имеют следующие зависимости от цены P и ее производных: D(t) = 3P'' - P' – 2P +18,

S(t) = 4P'' + P' + 3P + 3.

Требуется установить зависимость цены от времени. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D = S, приравниваем правые части уравнений, откуда получим Р'' + 2Р' + 5Р = 15.

Последнее соотношение представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции Р(t).

Найдем общее уравнение однородного уравнения Р'' + 2Р' + 5Р = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид λ² + 2λ + 5 = 0. Его корни – комплексно-сопряженные числа: λ _1,2 = -1 ⁺ 2i.

Общее решение однородного уравнения Р_оо(t) = e^-1 (C₁ cos2t + C₂ sin2t), где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Частным решением возьмем Р = Р_st – постоянную величину, которая представляет собой установившуюся цену. Подстановка в уравнение Р'' + 2Р' + 5Р = 15 частного решения дает значение Р_st = 3.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид Р_он(t)= =3+ e^-1(C₁ cos2t +C₂ sin2t).

Нетрудно видеть, что Р_он(t) → Р_st = 3 при t → ∞, то есть все интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту Р = 3 и колеблются около нее. Это означает, что все цены стремятся к установившейся цене Р_st с колебаниями около нее, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

Рассмотрим два частных решения

1) Задача Коши.

Пусть в начальный момент времени t = 0 известна цена, а также тенденция ее изменения, то есть Р = 4; Р′ = 1.

Подставляя первое условие в формулу Р_он(t) = 3 + е^-t(C₁ cos2t + C₂ sin2t), получим Р(0) = С₁ + 3 = 4, откуда С₁ = 1.

Таким образом, имеем Р(t) = 3 + е^-t(cos2t +С₂ sin2t).

Дифференцируя, получим Р′(t) = 3 + е^-t[(2C₂ – 1)cos2t + (C₂ + 2)sin2t].

Подставляя t = 0 и используя второе условие задачи Коши, получим Р′(0) = 2С₂ – 1 = 1, откуда С₂ = 1.

Окончательно получим решение задачи Коши Р(t) = 3 + е^-t(cos2t + sin2t).

2) Смешанная задача.

Пусть в начальный момент времени t =0 известны цена Р = 4 и спрос D = 16.

Поскольку первое начальное условие такое же, как и в случае 1), то имеем аналогичное решение Р(t) = 3 + е^-t(cos2t +С₂ sin2t).

Тогда производные функции Р(t) выражаются формулами

Р′(t) = е^-t[(2C₂ – 1)cos2t + (C₂ + 2)sin2t], Р′′(t) = - е^-t[(4C₂ + 3)cos2t+(3C₂ - 5)sin2t].

Следовательно Р′(0) = 2C₂ – 1 и Р′′(0) = -4C₂ - 3.

Имеем D(0)= 3P′′(0)-P′(0) – 2P(0) + 18 = 3(-4C₂ – 3) – (2C₂ – 1) - 2∙4 + 18 = 4, откуда C₂ = -1.

Таким образом, решение смешанной задачи имеет вид

Р(t) = 3 + е^-t(cos2t - sin2t).

Приложение 1

Формулы элементарной математики

1. Тождества сокращенного умножения

2. Квадратное уравнение ax²+bx+c= 0, a ≠ 0

Теорема Виета:

Если D ≥ 0, то

3. Разложение квадратного трехчлена на множители

Если D=b²-4ac ≥ 0, то ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

4. Степени

;

Свойства степеней:

5. Логарифмы и их свойства

.

6. Тригонометрия

а) Знаки тригонометрических функций

Четверть	функция
sinα	cosα	tgα	ctgα
I	+	+	+	+
II	+	-	-	-
III	-	-	+	+
IV	-	+	-	-

б) Значения тригонометрических функций при некоторых значениях

аргумента.

Функция	Аргумент
(0о)	(30о)	(45о)	(60о)	(90о)	(180о)	(270о)	(360о)
sinα							-1
cosα						-1
tgα					-		-
ctgα	-					-		-

в) Формулы приведения.

Функция	Аргумент
-α	+α	- α	+α	-α	+α	-α	+α
sinα	cosα	cosα	sinα	-sinα	-cosα	-cosα	-sinα	sinα
cosα	sinα	-sinα	-cosα	-cosα	-sinα	sinα	cosα	cosα
tgα	ctgα	-ctgα	-tgα	tgα	ctgα	-ctgα	-tgα	tgα
ctgα	tgα	-tgα	-ctgα	ctgα	tgα	-tgα	-ctgα	ctgα

г) Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того

же аргумента.

tgα=

сtga=

.

д) Формулы сложения для тригонометрических функций.

.

е) Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента.

.

ж) Формулы половинного аргумента.

.

з) Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических

функций в произведение.

.

и) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

.

к) Простейшие тригонометрические уравнения.

Уравнение	Формула решения	Частные случаи	Примечание
sinx=a
cosx=a
tgx=a
ctgx=a

Приложение 2

Основные элементарные функции: свойства и графики

1. Степенные функции

1.1. f(x) = x².

a) D(f) = / R;

б) E(f) = [0, +∞);

в) точка пересечения с осями координат – (0; 0);

г) функция четная (f(-x) = f(x));

д) функция непериодичная;

у

е) график функции:

1.2. f(x) = .

а) D(f) = / R {0};

б) E(f) = / R {0};

в) точек пересечения с осями координат нет;

г) функция нечетная (f(-x) = f(x));

д) функция непериодичная;

у

е) график функции:

2. Показательная функция

f(x) = а^х, а (0, +∞) {1}.

а) D (f) = / R;

б) E(f) = (0, +∞);

в) точка пересечения с осью Оу – (0; 1);

г) функция ни четная, ни нечетная;

д) функция непериодическая;

е) график функции:

3. Логарифмическая функция

f(x) = log_ax, a (0, +∞) {1}.

а) D (f) = (0, +∞);

б) E(f) = / R;

в) точка пересечения с осью Ох – (1; 0);

г) функция ни четная, ни нечетная;

д) функция непериодическая;

е) график функции:

4. Тригонометрические функции

4.1. f(x) = sinx.

а) D (f) = / R;

б) E(f) =[-1; 1];

в) точки пересечения с осью Ох – ( k; 0), k Z;

г) функция нечетная (f(-x) = -f(x));

д) функция периодическая с периодом Т = 2 ;

е) график функции:

4.2. f(x) = cosx.

а) D (f) = / R;

б) E(f) =[-1; 1];

в) точки пересечения с осью Ох – (; 0), k Z, точка пересечения с осью Оу – (0; 1);

г) функция четная (f(-x) = f(x));

д) функция периодическая с периодом Т = 2 ;

е) график функции:

4.3. f(x) = tgx.

а) D (f) = / R { + k}, k Z;

б) E(f) = / R;

в) точки пересечения с осью Ох – ( k; 0), k Z;

г) функция нечетная (f(-x) =- f(x));

д) функция периодическая с периодом Т = ;

у

е) график функции:

4.4. f(x) = сtgx.

а) D (f) = / R { k}, k Z;

б) E(f) = / R;

в) точки пересечения с осью Ох – ( + k; 0), k Z;

г) функция нечетная (f(-x) =- f(x));

д) функция периодичная с периодом Т = ;

е) график функции:

5. Обратные тригонометрические функции

5.1. f(x) =arcsinx.

а) D (f) =[-1; 1];

б) E(f) =[- ; ];

в) точка пересечения с осями координат – (0; 0);

г) функция нечетная (f(-x) =- f(x));

д) функция непериодичная;

у

е) график функции:

5.2. f(x) =arccosx.

а) D (f) =[-1; 1];

б) E(f) =[0; ];

в) точка пересечения с осью Оу – (0; );

г) функция ни четная, ни нечетная;

д) функция непериодичная;

у

е) график функции:

5.3. f(x) =arctgx.

а) D (f) = / R;

б) E(f) =[- ; ];

в) точка пересечения с осями координат – (0; 0);

г) функция нечетная (f(-x) =- f(x));

д) функция непериодичная;

у

е) график функции:

5.4. f(x) =arcctgx.

а) D (f) = / R;

б) E(f) =[0; ];

в) точка пересечения с осью Оу – (0; );

г) функция ни четная, ни нечетная;

д) функция непериодичная;

у

е) график функции:

Литература

1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело. 2002.

2. Высшая математика для экономистов. / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ. 2004.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа. 2003.

4. Васильев А.Б., Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1978.

5. Смирнова Е.Л. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. СПб.: ВИКА им. А.Ф. Можайского. 1993.

Оглавление

Предисловие........................................................................................... 3

Глава I. Введение в анализ.

1.1. Множества. Основные определения............................................... 4

1.2. Операции над множествами........................................................... 6

1.3. Функция одной переменной. Основные определения................... 7

1.4. Свойства функции........................................................................... 9

1.5. Способы задания функции............................................................. 9

1.6. Элементарные функции.................................................................. 10

Глава II. Предел и непрерывность функции одной переменной.

2.1. Последовательность и ее предел.................................................... 12

2.2. Предел функции в точке. Односторонние пределы...................... 13

2.3. Предел функции при х→ ∞. Бесконечно малые и бесконечно

большие функции................................................................................... 15

2.4. Основные теоремы о функциях, имеющих конечные пределы..... 17

2.5. Замечательные пределы.................................................................. 18

2.6. Сравнение функций......................................................................... 19

2.7. Асимптоты кривой.......................................................................... 22

2.8. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность 24

2.9. Непрерывность функции на промежутке. Точки разрыва функции

и их классификация................................................................................ 26

Глава III. Производная и дифференциал функции одной переменной.

3.1. Производная функции в точке. Односторонние производные..... 30

3.2. Геометрический смысл производной............................................. 32

3.3. Понятие бесконечной производной............................................... 33

3.4. Основные правила дифференцирования функций........................ 34

3.5. Таблица производных основных элементарных функций............ 35

3.6. Дифференциал функции.................................................................. 37

3.7. Дифференцирование параметрически заданной функции............ 38

3.8. Производные и дифференциалы высших порядков...................... 38

Глава IV. Аналитические и геометрические приложения производных.

4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления.................... 41

4.2. Правило Лопиталя.......................................................................... 42

4.3. Формула Тейлора........................................................................... 44

4.4. Возрастание и убывание функции.................................................. 44

4.5. Экстремумы функции..................................................................... 45

4.6. Направление выпуклости кривой................................................... 47

4.7. Точки перегиба кривой................................................................... 49

4.8. Построение графика функции........................................................ 51

Глава V. Функции нескольких переменных.

5.1. Понятие n-мерного координатного пространства........................ 54

5.2. Определение функции нескольких переменных............................ 55

5.3. Частные производные функции...................................................... 57

5.4.Геометрический смысл частных производных функции двух

переменных............................................................................................ 58

5.5 Дифференциал функции двух переменных..................................... 59

5.6. Частные производные высших порядков функции двух

переменных............................................................................................ 61

5.7. Экстремумы функции..................................................................... 62

Глава VI. Неопределенный интеграл.

6.1. Первообразная и неопределённый интеграл................................. 64

6.2. Основные свойства неопределенного интеграла........................... 64

6.3.Таблица основных неопределённых интегралов............................ 65

6.4. Основные методы интегрирования................................................ 66

6.5. Интегрирование простейших функций, содержащих

квадратный трехчлен............................................................................. 69

6.6. Интегрирование рациональных дробей........................................ 71

6.7. Интегрирование некоторых тригонометрических функций........ 75

6.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций............... 78

Глава VII. Определенный интеграл.

7.1. Понятие определённого интеграла. Геометрический и

экономический смысл определённого интеграла................................. 82

7.2. Свойства определённого интеграла............................................... 85

7.3. Основные методы вычисления определённого интеграла........... 86

Глава VIII. Геометрические приложения определенного интеграла.

8.1. Вычисление площади плоской фигуры......................................... 88

Рис. 8.6

8.2. Вычисление объёма тела вращения............................................... 90

8.3. Вычисление длины дуги плоской кривой...................................... 91

Глава IX. Несобственные интегралы.

9.1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку) 94

9.2. Свойства несобственных интегралов I рода.................................. 95

9.3. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода............. 96

9.4. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций) 97

Глава Х. Числовые ряды.

10.1. Основные определения и примеры.............................................. 100

10.2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Операции

над числовыми рядами.......................................................................... 101

10.3. Знакоположительные ряды.......................................................... 102

10.4. Знакочередующиеся ряды............................................................ 107

10.5. Знакопеременные ряды................................................................. 108

Глава XI. Функциональные ряды.

11.1. Основные определения и примеры.............................................. 111

11.2. Степенные ряды. Свойства степенных рядов.............................. 113

11.3. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд

Тейлора и Маклорена............................................................................ 115

Глава XII. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

12.1. Основные понятия и определения................................................ 119

12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Классификация

решений.................................................................................................. 119

12.3. Дифференциальные уравнения первого порядка в нормальной и

диффернциальной форме....................................................................... 122

12.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными........................... 122

12.3.2. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся

к ним....................................................................................................... 124

12.3.3. Линейные уравнения первого порядка.Уравнение Бернулли. 127

12.3.4. Уравнения в полных диффернциалах. Интегрирующий множи-

тель......................................................................................................... 130

12.4. Дифференциальные уравнения второго порядка........................ 134

12.4.1.Основные понятия и определения. Задача Коши...................... 134

12.4.2. Уравнения, допускающие понижение порядка......................... 136

12.5. Линейные уравнения второго порядка........................................ 138

12.5.1. Основные понятия и определения............................................. 138

12.5.2. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффици-

ентами..................................................................................................... 141

12.6. Экономические приложения дифференциальных уравнений второ-

го порядка.............................................................................................. 146

Приложение 1......................................................................................... 148

Приложение 2......................................................................................... 153

Литература............................................................................................. 159