Частные производные высших порядков функции двух переменных

Определение 5.12.

Предположим, что функция f(x, y) имеет частную производную f'_x (x, y) по аргументу х в любой точке (х, у) Х / R ².

Если функция f'_x (х, у) имеет в точке (х, у) Х частную производную по аргументу х, то эта производная называется частной производной второго порядка функции f(x, y) по аргументу х в точке (х, у).

Обозначение: f''_xx = (f'_x)'_x.

(Другие обозначения: z''_{x x}, ).

Аналогично определяются другие частные производные второго порядка, которые обозначаются f''_xy, f''_yx, f''_yy.

(Другие обозначения: z''_xy, z''_yx, z''_yy или ).

При этом частные производные по одному и тому же аргументу называются чистыми производными, а частные производные по разным аргументам – смешанными производными.

Теорема 5.2 (о равенстве смешанных производных).

Если частные производные второго порядка функции f(x, y) непрерывны в точке (х, у), то в этой точке f''_{x y} = f''_yx.

Замечание 5.7.

Для функции f(x, y) также могут быть определены частные производные третьего, четвертого, пятого порядка и т.д. Частные производные начиная со второй называются частными производными высших порядков.

Пример 5.5.

Для функции z = x³ – x²y² + найдем частные производные z''_xх, z''_ху, z''_yх, z''_уy, z'''_хyy.

Найдем частные производные первого порядка:

z'_x = 3x² – 2xy² + ,

z'_y = -2x²y - , откуда

z''_хх = 6х – 2у²,

z''_ху = -4ху - ,

z''_ух = -4ху - ,

z''_уу = -2х² + ,

z'''_хуу = (z''_ху)'_у = -4х + .

Отметим, что z''_ху = z''_ух, так как для этих смешанных производных выполнены условия теоремы 5.2.