Возрастание и убывание функции

Теорема 4.6. (о необходимом условии монотонности функции).

Если дифференцируемая на промежутке Х функция f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке, то f′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0 ) при всех х Х.

Теорема 4.7. (о достаточном условии монотонности функции).

Если функция f(x) дифференцируема на промежутке Х и f′(x) > 0 (f′(x) < 0 )

при всех х Х, кроме возможно конечного числа точек, где f′(x) = 0, то эта функция возрастает (убывает) на Х.

Пример 4.5.

Найдем интервалы постоянной монотонности функции f(x) = е^х – х.

Вычислив производную f′(x) = е^х – 1, получим, что f′(x) > 0 при х > 0 и f′(x)< 0, и только в единственной точке х = 0 f′(x) = 0. По теореме 4.7 функция f(x) = е^х – х возрастает на (0, +∞) и убывает на (- ∞, 0).