Система линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера

Теория матриц и определителей имеет широкое применение, как в самой математике, так и в ее приложениях. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат. Рассмотрим применение матриц и определителей к исследованию системы линейных уравнений с неизвестными . Она имеет вид

(1)

Коэффициенты и свободные члены , где , считаются заданными.

Определение. Решением системы (1) назовем совокупность чисел , таких, что после замены неизвестных соответственно числами , каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Система может не иметь решений, либо иметь единственное решение, либо бесчисленное множество решений.

Определение. Система, не имеющая решений, называется несовместной системой.

Определение. Система, обладающая хотя бы одним решением, называется совместной системой.

Рассмотрим систему (1). Составим определитель из коэффициентов при неизвестных:

.

Положим далее

, , .