Матрицалар және оларға қолданылатын амалдар?

4. Матрицаны транспонерлеу. Қандай да бір А матрицасының жатық жолын сәйкес тік жол етіп жазғаннан пайда болған матрицаны берілген матрицаның транспонерленген матрицасы деп атайды да, деп белгілейді. Берілген матрицаның өлшемі m x n болса, оның транспонерленген матрицасының өлшемі n x m болады.

№2. Анықтауыштар, олардың қасиеттері. Анықтауышты есептеу. Екінші ретті матрицаның анықтауышы немесе екінші ретті анықтауыш деп мынадай санды айтады: Үшінші ретті матрицаға үшінші ретті анықтауыш сәйкес келеді: Бұл анықтауыштың есептелуін үшбұрыш ережесі немесе Саррус ережесімен оңай есте сақтауға болады. 1-қасиет. Анықтауыштың жатық жолдарын сәкес тік жолдарымен алмастырғаннан, яғни транспонерлегеннен, анықтауыш мәні өзгермейді. 2-қас Анықтауыштың қандай да бір жолының ортақ көбейткішін анықтауыш алдына шығаруға болады. 3-қас Анықтауыштың екі жолының орнын ауыстырғаннан анықтауыш таңбасы қарама-қарсы таңбаға өзгереді. 4-қас Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса, онда анықтауыш мәні нолге тең. 5-қас Анықтауыштың бір жолын қандай да бір санға көбейтіп басқа жолға қосқаннан анықтауыш мәні өзгермейді. 6-қас Үшбұрышты матрицаның анықтауышы диагональ бойындағы элементтердің көбейтіндісіне тең.

№3. Минор, алгебралық толықтауыштар.Лаплас теоремасы. n-ретті квадрат матрицаның –жатық жолы мен –тік жолын сызып тастағаннан кейін пайда болған (n–1)-ретті анықтауықты элементінің миноры деп атайды және деп белгілейді. Үшінші ретті марицаның элементінің миноры мынадай екінші ретті анықтауыш: - элементінің алгебралық толықтауышы деп мынадай санды айтады: Лаплас теоремасы. квадрат матрицаның Δ анықтауышы оның кез келген жол элементтерін сәйкес алгебралық толықтауыштарға көбейтіп қосқанға тең: - бұл анықтауыштың i –жатық жолы бойынша жіктелініп есептелуі. - бұл анықтауыштың j –тік жолы бойынша жіктелініп есептелуі. Лаплас теоремасы n -ретті анықтауыш есептеуді (n-1)-ретті анықтауыш есептеуге келтіріледі.Кез келген n -ретті (n>3) анықтауышты дәрежесін төмендету арқылы екінші ретті анықтауышты есептеуге келтіруге болады.

№4. Кері матрица, оны есептеу. Анықтауышы нолге тең матрица ерекше, ал нолге тең емес матрица ерекше емес матрица деп аталады. Кез келген сан үшін мына теңдігін қанағаттандыратындай кері сан табылады. А квадрат матрица үшін мына теңдікті қанағаттандыратын матрица А матрицаның кері матрицасы деп аталады. Кері матрицаны мына формуламен табады: ,мұндағы -матрица анықтауышы, ал -берілген матрицаның элементтерінің алгебралық толықтауыштары, i=1,2,…,n; j=1,2,…,n. К ері матрица болуының қажетті және жеткілікті шарты: Матрицаның кері матрицасы болуы үшін ол ерекше емес () матрица болуы қажетті және жеткілікті. Берілген матрицаға кері матрицаны элементар түрлендірулер әдісімен де табуға болады. Бұл әдіс матрицаға элементар түрлендірулер қолдануға сүйенеді. Матрицаның элементар түрлендірулері деп мынадай түрлендірулерді айтамыз:Матрицаны транспонерлеу; Жолдардың орнын алмастыру;Қандай да бір жолдың барлық элементтерін нолден өзге санға көбейту; Қандай да бір жолдың барлық элементтерін нолден өзге санға көбейтіп басқа жолдың сәйкес элементтеріне қосу; Барлық элементі ноль болатын жолды алып тастау. Берілген матрицаның оң жағына бірлік матрица жалғап жазу керек. Сонда өлшемді кеңейтілген матрица пайда болады. В матрицаға А матрицасының орнында бірлік матрица пайда болғанға дейін жатық жолдарына элементар түрлендірулер жасалады. Нәтижесінде бірлік матрицаның орнында кері матрица пайда болады.

№5. Матрицаның рангісін есептеу. m x n өлшемді А матрицаның бірнеше жатық және тік жолдарын сызып тастап k өлшеміді, k min (m,n), квадрат матрица алуға болады. Осы квадрат матрица анықтауышы берілген матрицаның k өлшемді миноры деп аталады. матрицаның k -өлшемді минорлар саны болады. Матрицаның нолге тең емес минорларының ең үлкен реті матрица рангісі деп аталады: r=r(A)= rangA. Тұжырымдар: 1. матрицасының рангісі оның өлшемдерінің кішісінен артпайды:r(A) min(m,n). 2. Барлық элементтері ноль болғанда ғана (нолдік матрица) матрица рангісі ноль болады.3. n–ретті квадрат матрица ерекше емес болғанда матрица рангісі n–ге тең болады.Элементар түрлендірулер матрица рангісін өзгертпейді. Дәлелдеуі. Матрицаға элементар түрлендірулер жүргізгенде оның анықтауышы не өзгермей сақталады, не нолге тең емес санға көбейтіледі. Яғни, оның реті өзгермейді деген сөз. Олай болса, нолден өзгеше минорлардың немесе матрица рангісінің реті де өзгермейді, элементар түрлендірулер жасап, берілген матрицаны барлық диагоналдік элементтері нолден өзгеше болатындай етіп сатылы түрге келтіреміз: , мұндағы r п. Осы шарттың орындалуын матрицаны транстонерлеу арқылы қамтамасыз етуге болады.Сонда матрицаның r –ретті нолден өзге миноры: бар болады да, матрица рангісі r- ге тең болады, яғни r(A)=r.

№6. Сызықты теңдеулер жүйесі.Крамер ережесі. n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе деп мынадай жүйені айтады: мұндағы (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - теңдеу коэффициенттері деп, ал (i=1,2,…,m) - бос мүшелері деп аталады. Теңдеудің қысқаша жазылуы мынадай: (i=1,2,…,m) жүйенің бос мүшелерінің бәрі нолге тең болса, (i=1,2,…,m) жүйе біртекті жүйе деп аталады. Жүйенің әрбір теңдеуін тепе-теңдікке айналдыратын сандар тізбегі теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады. Осы шартты қанағаттандыратын барлық шешімдер шешімдер жиынын құрады. Жүйенің шешімдер жиынын табу процесін жүйені шешу дейді. жүйенің ең болмағанда бір шешімі болса жүйе үйлесімді, ал шешімі болмаса үйлесімсіз деп аталады. Үйлесімді жүйенің бір ғана шешімі болса, жүйе анықталған, ал шешімі бірден көп болса анықталмаған деп аталады. , , А - жүйе коэффициенттерінен құрылған матрица немесе жүйе матрицасы, Х - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица, В - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица. Осы белгілеулерді қолданып жүйені былай жазуға болады: АХ=В Егер жүйе матрицасына бос мүшелер матрицасын жалғап жазсақ, , жүйенің кеңейтілген матрицасын аламыз. Кронеккер-Капелли теоремасы. Егер сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы мен кеңейтілген матрицасының ранглері тең болса, онда жүйе үйлесімді болады. Жүйе үйлесімді болуы үшін болуы керек. Бұл кезде r жүйе рангісі деп аталады.Үйлесімді жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санына тең болса (r=n), онда жүйе анықталған болады, ал егер жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса (r<n), онда жүйе анықталмаған болады. Крамер әдісі- жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады, жүйе түрі мынадай болады: Жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең, онда жүйе матрицасы квадрат матрица болады. Сол квадрат матрицаның анықтауышын деп белгілейік:

Крамер ережесі. -жүйе анықтауышы, ал - анықтауыштың j-тік жолын бос мүшелермен алмастырғаннан пайда болған анықтауыш болсын. Сонда, егер болса жүйенің жалғыз шешімі бар болады және мынадай формуламен табылады: (i=1,2,…,n)

№7.Сызықты теңдеулер жүйесін кері матрица әдісімен шешу. Бұл әдіс те жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Жүйенің матрицалық жазылуын қарастырайық: АХ=В, мұндағы , , . А ерекше емес матрица болсын, яғни матрица анықтауышы нолге тең емес, олай болса әр уақытта кері матрицасы бар болады. Теңдеуді сол жағынан кері матрицаға көб. АХ= В А=E болатындықтан, ЕХ= В, кез келген матрицаның бірлік матрицаға көбейтіндісі сол матрицаның өзіне тең болатындықтан, ЕХ=Х: Х= В. Кері матрицалық әдіс бойынша жүйенің шешімін табу үшін бос мүшелерден құралған матрицаны жүйе матрицасының кері матрицасына көбейту керек екен.

№8. n белгісізді m сызықты теңдеулерден құрылған жүйені Гаусс әдәсімен шешу. Гаусс әдісі - жүйедегі айнымалыларды түрлендірулер көмегімен біртіндеп жойып, жүйені сатылы түрге келтіріп, айнымалыларды біртіндеп табатын әдіс. Гаусс түрлендірулері мынадай: Кез келген екі теңдеудің орындарын ауыстырып жазу; Кез келген теңдеудің екі жағын нолден өзге санға көбейту; Қандай да бір теңдеуді нолден өзге санға көбейтіп, басқа теңдеуге сәйкесінше қосу; 0=0 түріндегі теңдеуді сызып тастау. Гаусс түрлендірулерін жүйенің өзіне қолданғаннан гөрі оның кеңейтілген матрицасына қолданған ұтымды болады. Олай болса жүйенің кеңейтілген матрицасын қарастырайық

.Осы мат. түрлендірулер нәтижесінде мынадай түрге келтіреміз:

яғни, Соңғы ,..., теңдеулеріндегі ,..., сандарының ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше болса, онда берілген теңдеулер жүйесі үйлесімсіз, ал бәрі нолге тең болса жүйе үйлесімді болады. Жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса, онда жүйе анықталмаған болатыны жоғарыда айтылған. Жүйе үйлесімді және r<n болсын. Егер коэффициенттерінен құрылған анықтауыш нолден өзгеше болса, онда айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылар деп, ал басқа n-r айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылар деп атайды. Еркін айнымалылары нолге тең болған кездегі шешім базистік шешім деп аталады. Базистік шешімдер саны -ден артпайды.

№9. Аналитикалық геометрияның қарапайым 3 есебі. 1. Екі нүкте ара қашықтығы. Жазықтықта және екі нүкте берілсін. Осы екі нүкте ара қашықтығын, немесе АВ кесіндісінің ұзындығын, мына формуламен есептейді: . 2. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Жазықтықта және екі нүкте берілсін. АВ кесіндісін АМ:МВ= болатындай қатынаспен бөлетін М(х,у) нүктесінің координаталары мынадай формуламен есептелінеді: , . Дербес жағдайда, АВ кесіндісін тең екіге бөлу керек болса, яғни =1:1=1, формула былай түрленеді:

, . 3. Үшбұрыш ауданы. Жазықтықта төбелері , , болатын үшбұрыш ауданы мынадай формуламен есептелінеді: .

№10. Жазықтықтағы түзудің әр түрлі теңдеулері. Берілген бағыт және берілген нүкте арқылы өткен түзу теңдеуі. Көп жағдайда түзу теңдеуін оның бойында жатқан белгілі нүкте мен k бұрыштық коэффициенті арқылы жазу керек болады (5-сурет).

y=kx+b, мұндағы b әзірше белгісіз. Түзу нүктесі арқылы өтетіндіктен, нүкте координатасы түзу теңдеуін қанағаттандыруы керек: y ₁ =kx ₁ +b. Осы теңдіктен белгісіз b табылады, b = y ₁ - kx _1. Табылған мәнді теңдеудегі орнына қойып, берілген бағыт және берілген нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін аламыз: y =k(x – x ₁) + y ₁ Егер (4) теңдеудегі k ерікті мән қабылдаса, онда теңдеу нүктесі арқылы өтетін түзулер шоғының теңдеуін анықтайды (6-сурет). Берілген екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуі.

және нүктелері

берілсін. АВ түзуінің теңдеуін жазу үшін А нүктесі арқылы өткен түзулер шоғының теңдеуін жазамыз: y =k(x – x ₁) + y _1. АВ түзуі нүктесі арқылы өтетіндіктен, нүкте координатасы түзу теңдеуін қанағаттандыруы керек: y ₂ =k(x ₂ – x ₁) + y _1. Осы теңдіктен белгісіз k табылады, . Табылған мәнді теңдеудегі орнына қойып, берілген екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін аламыз:

Түзудің “кесіндідегі” теңдеуі. Түзу Ох осінен а -ға тең, Оу осінен b -ға тең кесінді қиып өтсін (8-сурет). Түзу А(а;0) және В(0;b) нүктелері арқылы өтеді деп, Сонда түзу теңдеуі мынадай түрде

жазылады:

Енді ықшамдасақ, түзудің “кесіндідегі” теңдеуін аламыз:

Екі түзу арасындағы бұрыш. 9-Суреттен көрініп тұрғандай . Осыдан немесе формула берілген екі түзу арасындағы бұрышты анықтайды. Ал екінші бұрыш тең болады.

№11.Екі түзудің параллелдік және перпендикулярлық шарты. Егер екі түзу параллель болса, онда =0 болады да tg =0, яғни: k ₂ – k ₁ = 0. Осыдан екі түзудің параллелдік шарты шығады: k ₂ = k ₁ , яғни екі түзудің бұрыштық коэффициенттері тең болса, ол түзулер параллель болады және керісінше. Егер екі түзу перпендикуляр болса, онда болады да, , . Осыдан екі түзудің перпендикулярлық шарты шығады: k ₂ = , яғни екі түзудің бұрыштық коэффициенттері мәндері бойынша кері, таңбалары бойынша қарама-қарсы болса, ол түзулер перпендикуляр болады және керісінше.

№12. n-өлшемді векторлық кеңістік. Векторлардың сызықты тәуелділігі ж\е сызықты тәуелсіздігі. Мысал келтіру. Элементтері x, y, z, … болатын қандай да бір R жиын қарастырайық. Осы жиынның кез келген x және y элементтері үшін қосу x + y амалы мен қандай да бір х элементі және нақты сан үшін көбейту х амалы орындалсын. R жиынның элементтерін қосу және элементін нақты санға көбейту амалдары төмендегідей шарттарды қанағаттандырса, R жиын векторлық (сызықтық) кеңістік деп, ал элементтерін векторлар деп атайды: x+y=y+x; (x+y)+z=x+(y+z); Кез келген x R үшін 0 R (нол-элемент) табылады да, мынадай қатынас орындалады: x+0=x; Кез келген x R үшін -х R (қарама-қарсы элемент) табылады да, мынадай қатынас орындалады: x+(-x)= 0; x=x; ( x)=( )x; (x+y)= x+ y; ( + )x= x+ x. x және y векторларының айырмасы деп х векторы мен –1у векторларының қосындысын айтамыз: x-y=x+(-1)y Векторлық кеңістіктің анықтамасынан кез келген х векторды 0 нақты санына көбейткенде пайда болатын жалғыз 0 - ноль вектордың бар болатындығы; әрбір х вектор үшін осы векторды (-1) санына көбейткенде пайда болатын жалғыз қарама-қарсы (–х) вектордың бар болатындығы шығады. R сызықты кеңістіктің векторлары x, y, z, …, u болсын. Мынадай v= x+ y+ z+…+ u теңдікпен анықталған v векторы осы кеңістікте жатады, мұндағы -нақты сандар. Осы v векторды x, y, z, …, u векторларының сызықты комбинациясы деп атайды. x, y, z, …, u векторларының сызықты комбинациясы 0 ноль вектор болсын, яғни x+ y+ z+…+ u= 0. = = =…= = 0болған кезде ғана орындалса х, y, z, …, u векторлары сызықты тәуелсіз деп аталады. Ал егер , , ,…, сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда орындалса х, y, z, …, u векторлары сызықты тәуелді деп аталады. Жазықтықтағы коллинеар емес екі вектор сызықты тәуелсіз векторға мысал болады. Шынында да, жазықтықтағы және векторлары үшін + =0 тек = = 0 болғанда ғана орындалады. Ал, олай демесек, мысалы болса,онда =- болып, пен векторларының коллинеарлығын білдірген болар еді. Ал бірақ жазықтықтағы кез келген үш вектор сызықты тәуелді болады. Векторлық кеңістіктің қасиеттері: 1. Егер x, y, z, …, u векторларының ішінде ноль-вектор бар болса, онда бұл векторлар сызықты тәуелді болады. Шынында да, егер, мысалы, x=0 болса, онда теңдік = 1, = =…= =0 болғанда орындалады. 2. Егер x, y, z, …, u векторларының қандай да бір бөлігі сызықты тәуелді болса, онда бұл векторлардың бәрі сызықты тәуелді болады. Шынында да, мысалы, y, z, …, u векторлары сызықты тәуелді болсын десек y+ z+…+ u=0 теңдік , ,…, сандарының бәрі бір мезгілде нолге тең болмағанда орындалып тұр деген сөз. Олай болса бұл теңдік сол , ,…, сандары және = 0санымен де орындалады. Мысал: x =(3,2,-1), y =(2,-1,3), z =(1,3,-4) векторлары сызықты тәуелді ме? Шешуі. x, y, z векторлары сызықты тәуелді болады, егер x+ y+ z= 0 теңдігі , , сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда орындалса. x, y, z векторларын бағана түрінде жазып, теңдікті ашып жазайық: + + = 0 Есеп осындай жүйені шешуге келтірілді. Жүйе біртекті, яғни оның нолдік шешімі әруақытта бар. Жүйені Гаусс әдісімен шешіп жүйенің нолдік емес шексіз көп шешімін табуға болады: , мұндағы С-ерікті нақты сан. Сонымен, берілген векторлар үшін (1) теңдік , , сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда (айталық, , (С=1)) орындалып тұр, олай болса берілген векторлар сызықты тәуелді.

№13. Векторларды базис бойынша жіктеу.Векторларды сызықты түрлендіру. Егер R сызықты кеңістікте n сызықты тәуелсіз вектор бар болып, ал осы кеңістіктің кез келген n+1 векторы сызықты тәуелді болса, онда R кеңістікті n өлшемді деп атайды. Кейде кеңістік өлшемі n-ге тең дейді де, dim(R)=n деп немесе Rⁿ деп жазады. п өлшемді векторлық кеңістіктің п сызықты тәуелсіз векторларының жиыны базис деп аталады.Т ұжырымдар: 1. Егер қандай да бір векторлар базис құрса, онда осы векторлардың координаталарынан құрылған анықтауыш нолден өзгеше болады.2. п өлшемді векторлық кеңістіктің әр бір векторы базистік векторлардың сызықты комбинациясы арқылы жазылады және бұл жазу жалғыз болады. Сонда, егер - кеңістіктің базисі болса, онда кез келген x R векторы жалғыз түрде былай жазылады: . Демек базисінде х векторы сандарымен жалғыз түрде анықталады. сандар х векторының осы базистегі координаталары деп аталады. R сызықты кеңістігінің әрбір x R векторына қандай да бір ереже бойынша Ax R вектор сәйкес қойылса R сызықты кеңістігінде А түрлендіруі берілген деп атайды. Кез келген x, y векторы мен саны үшін A(x+y)=Ax+Ay, A( x)= Ax теңдіктері орындалса А түрлендіруі сызықты түрлендіру болады. Сызықты түрлендіру кез келген х векторды өзіне түрлендірсе, онда ол тепе-тең түрлендіру деп аталады. Тепе-тең түрлендіруді Е әрпімен белгілейді. Сызықты түрлендіруге қолданылатын амалдар: 1. А және В сызықты түрлендірулер қосындысы деп мынадай (А+В)х=Ах+Вх теңдеумен анықталатын А+В сызықты түрлендіруді айтады.2.А сызықты түрлендіруі мен тұрақты санының көбейтіндісі деп мынадай ( А)х= (Ах) теңдеумен анықталатын А сызықты түрлендіруді айтады.3. А және В сызықты түрлендірулер көбейтіндісі деп мынадай (АВ)х=А(Вх)теңдеумен анықталатын А+В сызықты түрлендіруді айтады. Егер А түрлендіруі үшін мынадай ВА=Е, АС=Е теңдіктер орындалатындай В және С сызықты түрлендірулері табылатын болса, онда В=С болады. Бұл жағдайда В=С=А^-1 деп белгілейді де А^-1 сызықты түрлендіруді А түрлендіруіне кері түрлендіру деп атайды. Сонымен, А^-1 А= АА^-1=Е. Егер сызықты түрлендіру матрицасының анықтауышы нолден өзгеше болса, онда А сызықты түрлендіруді өзгеше емес сызықты түрлендіру дейді. Әрбір өзгеше емес сызықты түрлендірудің жалғыз кері түрлендіруі бар болады. Ол түрлендіру матрицасы берілген түрлендіру матрицасыңың кері матрицасы болады.

№14.Сызықты оператордың меншікті векторлары ж\е меншікті мәндері. Нолдік емес х векторы үшін мынадай Ax= x теңдік орындалатындай қандай да бір нақты саны табылса х векторы А сызықты түрлендіруінің өзіндік векторы деп аталады. саны А түрлендіруінің х векторына сәйкес сипаттамалық саны деп аталады, өзіндік вектор А сызықты түрлендіру нәтижесінде өзіне колинеар векторға түрленетіні көрініп тұр. Ал өзіндік емес векторлар түрлендіруі күрделі болады, сондықтан алгебра мен оның қолдануларында өзіндік векторларды қолдану тиімді және ыңғайлы болады, теңдеуді матрицалық түрде жазсақ: AХ= Х мұндағы Х - х вектордың координаталарынан тұратын бағана вектор. Теңдеуді ашып жазайық: Теңдеулердің оң жағында нолдер болатындай етіп көшіріп жазайық, , матрицалық жазылуы: (A- Е)Х=0. Алынған біртекті теңдеулер жүйесінің 0= (0, 0, …, 0) нолдік шешімі әруақытта бар. Нолдік емес шешімі бар болуы үшін жүйе анықтауышы нолге тең болуы қажетті және жеткілікті: . анықтауыш қатысты n –дәрежелі көпмүше. Осы көпмүшені А сызықты түрлендірудің сипаттамалық көпмүшесі деп, ал 0-дік теңдеуді сипаттамалық теңдеуі деп атайды. Маңызды қасиеттері бар: 1. Сипаттамалық көпмүше базисті таңдап алудан тәуелсіз. 2. Егер А сызықты түрлендіру матрицасы симмиетриялы болса, онда сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлері нақты сандар болады.

№15.Функцияның нүктедегі шегі.Тамаша шектер.Мысалдар. Егер алдын ала берілген, мейілінше аз санына саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі орындалса, онда А саны f(x) функциясының х аргумент х₀-ге ұмтылғандағы шегі деп аталады да, былай жазылады: . теңсіздікті ашсақ, мынадай қос теңсіздік аламыз: . интервалды нүктесінің -маңайы дейді. Сол сияқты теңсіздікті ашсақ: . интервалды А нүктесінің -маңайы дейді. функциясы x=0 нүктеде анықталмаған, бірақ жағдайда шегі бар және Осы шекті бірінші тамаша шек деп атайды. Бірінші тамаша шек салдары: 1) , 2) , 3) . Мысалдар:

. ж\е.

функциясының жағдайда шегі бар және Осы шекті екінші тамаша шек деп атайды. Мұндағы иррационал саны Эйлер саны екені белгілі. Екінші тамаша шек салдары: 1) , a=e болғанда ;2) , a=e болғанда ; 3)