Основные сведения. 1. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в целевую функцию и общий объем потребления соответствующих ресурсов прямо пропорционален уровню

В большинстве оптимизационных задач зависимости между переменными линейны. Линейность предполагает наличие двух свойств пропорциональности и аддитивности.

1. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в целевую функцию и общий объем потребления соответствующих ресурсов прямо пропорционален уровню (величине) этой переменной.

Аддитивность заключается в том, что целевая функция представляет собой сумму вкладов от различных переменных. Аналогично левая часть каждого ограничения должна представлять собой сумму расходов, каждое слагаемое которой пропорционально величине соответствующей переменной. Если, например, фирма, производит два конкурирующих вида продукции, увеличение сбыта одного из которых отрицательно сказывается на объеме реализации другого, то такая модель не обладает свойством аддитивности.

Математическую модель задачи линейного программирования в общем виде можно записать в виде:

min (max) W = c₁ x₁ + c₂ x₂ +... + c_n x_n; (целевая функция)

при ограничениях:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n £ (=, ³) b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n £ (=, ³) b₂

...

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ +... + a_mn x_n £ (=, ³) b_m

x_j ³ 0, j=1, 2,... n

Рассмотрим конкретную задачу:

Задача № 1. Руководство фирмы предполагает производить продукцию двух моделей А₁ и А₂. Их производство ограниченно наличием сырья, временем эксплуатации оборудования и денежными кредитами. Для каждого изделия модели А₁ требуется 0,3 м³ древесины, 0,2 часа работы станков и затратить 1,6 денежных единиц, а для изделия модели А₂ - 0,4 м³ древесины, 0,5 часа работы станков и 1 ден. ед. Фирма может получить от своих поставщиков до 170 м³ древесины в неделю и использовать оборудование в течение 160 часов. На финансирование проекта предполагается выделять 800 ден. ед. Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в неделю, если каждое изделие модели А₁ должно приносить 2 ден. ед. прибыли, а каждое изделие модели А₂ - 4 ден. ед. прибыли?