Свойства дисперсии. 1) (под интегралом стоит квадрат функции)

1) (под интегралом стоит квадрат функции).

2) (.

3) (выведите сами, вынося из под суммы или из под интеграла).

Средним квадратическим отклонением называется .

Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрии , эксцесс – мера островершинности распределения , среднее арифметическое отклонение , мода – наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½).

Пример. Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X – количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х₁ = 0 и х₂ = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х

xi
pi	q	p

Функция распределения равна ,

Математическое ожидание равно M(X) = m_x = 0 q + 1 p = p.

Если составить ряд распределения для случайной величины X², то мы получим ту же таблицу (так как 0² = 0 и 1² =1). Поэтому M(X²) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X²) – (m_x)² = p – p² = p(1-p) = pq.

Пример. Пусть плотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка. Такое распределение называется равномерным на отрезке [a,b]. Из условия нормировки для плотности вероятности следует

. Отсюда следует, что - плотность равномерного распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равна

. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].

,

=

=