Означення неперервності функції

Означення 1.

Нехай функція визначена у точці та деякому її околі. Функція називається неперервною у точці , якщо для будь якого як завгодно малого числа існує таке додатнє число , залежне від , що для кожного , яке задовольняє умові: ,

відповідне значення функціїзадовольняє умові:

.

Означення 2.

Нехай функція визначена у точці та деякому її околі. Функція називається неперервною у точці , якщо її графічне значення у цій точці дорівнює , тобто:

.

Висновок.

Якщо функція неперервна, то знак функції можна поміняти місцями.

Дійсно, , тоді:

,

що і слід було довести.

Означення.

Приростом функції у точці називається різниця між значенням функції у точці та значенням функції у точці , тобто:

,

величина при цьому називається приростом аргумента.

Означення 3.

Нехай функція визначена у точці та деякому її околі. Функція називається неперервною у точці , якщо нескінченно малому прирісту аргумента відповідає нескінченно малий приріст функції , тобто

.

Означення 4.

Нехай функція визначена у точці та деякому її околі. Функція називається неперервною у точці , якщо для будь якої послідовності значень аргумента , яка збігається до числа , відповідна послідовність значень функції збігається до .

Означення 5.

Нехай функція визначена у точці та лівому (правому) півоколі. Функція називається неперервною у точці зліва (справа), якщо відповідна лівостороння (правостороння) границя функції дорівнює значенню функції у точці , тобто

.

Означення.

Нехай функція визначена у точці , за винятком, може бути, самої точки . Точка називається точкою розриву функції , якщо у цій точці не виконуються умови неперервності функції.

Означення.

Стрибком функції у точці називається різниця між односторонніми границями функції у цій точці, тобто величина

.

Означення.

Точка називається точкою розриву I роду функції , якщо її стрибок у точці є скінченна величина, що відрізняється від нуля, тобто коли

.

Означення.

Точка називається точкою розриву II роду функції , якщо хоч би одна з односторонніх границь функції у точці не існує або дорівнює нескінченності.

Означення.

Точка називається точкою усувного розриву функції , якщо існують та рівні між собою односторонні границі функції у цій точці, але вони відрізняються від значення функції у цій точці, тобто

.