Означення границі функції за Коші

Означення 1.

(за Коші). Нехай функція визначена у околі точки , за винятком, може бути, самої точки . Число називається граничним значенням функції у точці або границею функції коли , якщо для будь якого як завгодно малого додатнього числа існує таке додатнє число , залежне від , що для усіх значень , які заловольняють нерівності:

відповідні значення функції задовольняють нерівності:

.

При цьому використовується позначення:

.

Зауваження.

Число може бути як скінченним, так і нескінченним. Так, коли є нескінченно малою величиною якщо , то

,

а якщо нескінченно великою, то

.

Приклад.

Довести, що граниче значення функції у точці дорівнює .

Розв’язання.

Візьмемо будь яке додатнє як завгодно мале число та розглянемо нерівність

. (1).

Розв’яжемо цю нерівність.

,

.

Отже

(2).

Таким чином, виходить, що для обраного знайшлось відповідне число і для кожного , що задовольняє умові(2) відповідні значення функції задовольняють умові(1).

Означення.

Нехай функція визначена у лівому півоколі точки за винятком, може бути, самої точки . Число називається лівосторонньою границею функції коли зліва, якщо для будь якого як завгодно малого додатнього числа існує таке додатьнє число , залежне від , що для кожного значення , яке задовольняє умові:

відповідні значення функції задовольняють умові:

.

При цьому використовується позначення:

.

Означення.

Нехай функція визначена у правому півоколі точки за винятком, може бути, самої точки . Число називається правосторонньою границею функції коли справа, якщо для будь якого як завгодно малого додатнього числа існує таке додатьнє число , залежне від , що для кожного значення , яке задовольняє умові:

відповідні значення функції задовольняють умові:

.

При цьому використовується позначення:

.