Теоретичні відомості. Нечітка множина (fuzzy set) представляє собою сукупність пар , , де

Нечітка множина (fuzzy set) представляє собою сукупність пар , , де , а – функція належності, що представляє собою деяку суб’єктивну міру відповідності елемента нечіткій множині А.

Функцією належності (membership function) називається така функція, щовказуєступінь належності елемента х універсальної множини до нечіткої підмножині А.

Нечітка множина A, що визначена на універсальній множині з кінцевою кількістю елементів, аналітично формалізується наступним чином:

(1)

де - пара „функція належності/елемент” – синглтон.

Нечітка множина визначена на неперервній множині . Аналітичне позначення в цьому випадку має наступний вигляд:

(2)

де символ також означає сукупність пар

Приклад 1. Представити підмножину А = «напіважурні» (25-50 %) універсальної множини Х - «щільність крони» у вигляді нечіткої множини.

А = «напіважурні» = 0,23/20 + 0,3/22 + 0,41/24 + 0,58/27 + 0,78/33 + 1/37 + 0,98/39 + 0,82/40 + 0,61/45

Лінгвістичною змінною (linguistic variable) називається змінна, значеннями якої можуть бути слова або речення природної або штучної мови.

Терм-множиною (term set) називається сукупність значень лінгвістичної змінної.

Термом (від англ. term – називати) називається елемент терм-множини. Терм задається нечіткою множиною за допомогою функції належності.

Приклад 2. Лінгвістична змінна

§ «склад насадження» має терм-множину з наступними термами: чисті, змішані.

§ «ВИСОТА ДЕРЕВ» має терм-множину з наступними термами: низькі, середньої висоти, високі, дуже високі.

Розглядаються нелінійні об’єкти

(3)

з n входами та одним виходом (y). Передбачається, що вихід може бути:

а) неперервним, тобто ,

б) дискретним, тобто ,

де - діапазон; - класи можливих значень вихідної змінної у.

Нечіткою базою знань називається сукупність нечітких правил "Якщо - тоді", що визначають взаємозв'язок між входами й виходами досліджуваного об'єкта:

ЯКЩО

АБО ... (4)

...

АБО ,

ТОДІ , для всіх ,

де - нечіткий терм для оцінки змінної в стрічці з номером jp, ;

- кількість стрічок - кон’юнкцій, що відповідають рішенню , ;

- число з інтервалу , що характеризує суб’єктивну міру впевненості експерта в правилі з номером jp.

У більш компактній формі логічні висловлювання (4) з використанням операцій (АБО) і (ТА), можна записати так:

, .

З використанням теорії нечітких множин та системи експертних висловлювань (4) модель нечіткої апроксимації об’єкту (3):

, , (5)

де - функція належності виходу до класу ; - функція належності входу до нечіткого терму , . Для формалізації нечітких термів, якими оцінюються входи об’єкту, пропонується використовувати функції належності:

, (6)

де - функція належності змінної x до довільного нечіткого терму Т; b - координата максимуму функції, ; c - параметр стиснення-розтягування.

Нечітким логічним висновком (fuzzy logic inference) називається апроксимація залежності за допомогою нечіткої бази знань й операцій над нечіткими множинами.

Система нечіткого логічного висновку називається системою типу Мамдані (Маmdani), якщо при відомій базі знань (4) вектору фіксованих значень факторів впливу ставиться у відповідність значення вихідної змінної , яке розраховується за таким алгоритмом:

1. Визначити значення вхідних змінних за певної ситуації прийняття рішення.

2. Обчислити значення функцій належності змінних до їх нечітких термів для заданих значень вхідних змінних .

Функції належності кількісних змінних до нечіткого терму для заданих значень вхідних змінних розраховуються за формулами. При якісному визначенні вхідної змінної значення функцій належності визначаються як висота перетину нечітких множин та .

3. Підставити знайдені функції належності у співвідношення (5) та обчислити значення функцій належності вектора вхідних змінних до всіх класів-рішень , , використовуючи операції І () та АБО () над функціями належності, як операції min і max відповідно:

,

В результаті отримаємо вихідну величину у, що має вигляд нечіткої множини:

(7)

4. Із множини термів , вихідної змінної обирається те рішення, значення функції належності якого є найбільшим:

(8)

За умов неперервної вихідної змінної отримаємо нечітку множину у вигляді:

(9)

Щоб одержати результат у вигляді чіткого числа з інтервалу за нечіткою множиною (9), необхідно провести дефаззіфікацію отриманого результату, що визначає звичайне чітке значення вихідної змінної.

Дефаззіфікацією (від англ. defuzzification) називається процедура перетворення нечіткої множини в чітке число.

В теорії нечітких множин процедура дефаззіфікації аналогічна знаходженню характеристик положення випадкових величин в теорії ймовірності (математичного очікування, моди, медіани).

В пакеті MatLab запрограмовані такі методи дефаззіфікації:

Centroid - центр тяжіння;

Bisector - медіана;

Lom - найбільший з максимумів;

Som - найменший з максимумів;

Mom - середній з максимумів.

Найбільшого розповсюдження серед методів дефаззіфікації отримав метод центра тяжіння, за яким:

. (10)

Системою нечіткого логічного висновку називається програмне забезпечення, яке моделює залежність Y = f (X) за допомогою нечіткої логіки, де Y (X) - вектор вихідних (вхідних) змінних.

Структура системи нечіткого логічного висновку показана на рис. 2. Елементи системи виконують такі функції:

· фаззіфікатор перетворює фіксований вектор вхідних змінних (вектор факторів впливу) X в вектор нечітких множин за допомогою функцій належностей;

· база знань зберігає інформацію про залежність Y = f (X) у вигляді нечітких правил типу "якщо - тоді";

· блок нечіткого логічного висновку прогнозує вектор нечітких значень вихідних змінних , який відповідає вектору нечітких значень вхідних змінних ();

· дефаззіфікатор перетворює вектор нечітких множин в звичайний числовий вектор (Y).

Рис. 2. Узагальнена структура системи нечіткого логічного висновку

Блок-схеми системи нечіткого логічного висновку з п входами та одним виходом наведені на рис. 3.

Рис. 3. Об'єкти з безперервним виходом (а) і з дискретним виходом (б)