Методи побудови регресійних моделей

Введемо наступні позначення: – вектор вихідних змінних сис­теми, що моделюються; – вектор вхідних параметрів, які контролюю­ться.

В постановці задачі регресійного аналізу – деяка випадкова ве­личина, яка змінюється навколо невідомого параметру

, (6.5)

де - випадкова флуктуація.

Як правило регресійна модель зв¢язує два параметри. Щоб побудувати регресійну модель, необхідно встановити факт існування зв¢язку між досліджуваними параметрами, який підтверджується кореляційним моментом (коваріацією). З точки зору статистики коваріація може бути визначена

, (6.5)

де - математичне очікування значення змінних і .

Величина коваріації дозволяє знайти коефіцієнт кореляції

, (6.6)

де - середньоквадратичні похибки у визначенні змінних і .

Вважають, що, якщо , то зв¢язок між випадковими величинами і досить імовірний. В такому випадку можна побудувати рівняння регресії у вигляді

. (6.7)

Нехай в площині маємо набір точок . Ці точки, як правило, не лежать на одній прямій лінії в силу випадковості вимірювань, тому формула рівняння регресії є наближеною (рисунок 6.5).

Рисунок 6.5 – Лінія регресії.

Задача зводиться до визначення коефіцієнтів і . Найпростіше це зробити за методом найменших квадратів, суть якого полягає в тому, що треба вибрати таку лінію, сума квадратів віддалей усіх точок від якої буде мінімальною. Згідно з цим методом мінімізуємо суму

, (6.8)

де - задані числа.

Щоб мінімізувати суму знаходимо похідні

, (6.9)

. (6.10)

Прирівнюючи ці похідні до нуля, одержимо систему рівнянь для визначення коефіцієнтів і

, (6.11)

, (6.12)

звідки

, (6.13)

. (6.14)

Для оцінки точності регресійного аналізу визначають середньоквадратичну похибку і коефіцієнт варіації.