Рассмотренный алгоритм метода потенциалов может быть изображен графически в форме диаграммы деятельности языка UML

В заключении следует отметить, что при определении начального допустимого решения или в процессе решения задачи может быть получено вырожденное решение. Чтобы избежать в этом случае зацикливания алгоритма, следует соответствующие нулевые элементы допустимого решения заменить сколь угодно малым положительным числом ε, после чего решать задачу как невырожденную. В оптимальном решении такой задачи необходимо считать ε равным нулю.

Для нахождения исходного допустимого решения транспортной задачи на этапе 2 алгоритма может быть использован так называемый метод минимального элемента. Сущность этого метода состоит в том, что начальное допустимое решение находится за п+т-1 шагов. При этом на каждом шаге находится значение только одной переменной хij, которая записывается в соответствующую ячейку. После чего данная ячейка становится занятой. Первоначально все ячейки таблицы свободные и среди них отыскивается такая ячейка, которой соответствует минимальное значение из коэффициентов целевой функции сij.Если таких ячеек несколько, то следует выбрать любую из них. Для найденной свободной ячейки определяется значение соответствующей переменной: хij = min{ai, bj}.

Заполнение выбранной ячейки обеспечивает полностью либо удовлетворение потребности в пункте потребления, если хij = bj = min{ai, bj }, либо вывоз всех запасов из пункта производства, если хij = ai = min{ai, bj}.

В первом случае исключают из дальнейшего рассмотрения столбец таблицы, соответствующий bj, а для i-й строчки полагают новое значение.Во втором случае исключают из дальнейшего рассмотрения строку соответствующую ai, а для j-го столбца полагают новое значение.

После исключения строки или столбца из дальнейшего рассмотрения происходит нахождение среди свободных ячеек следующего минимального значения сij и заполнение найденной ячейки очередным значением переменной: хij = min{ai, bj } с соответствующим исключением строки или столбца. В итоге после п+т-1 шагов метод минимального элемента позволяет получить начальное допустимое решение закрытой транспортной задачи линейного программирования.

Проиллюстрируем использование рассмотренного алгоритма метода потенциалов для решения индивидуальной транспортной задачи (2.6) и (2.7). Поскольку исходная задача является закрытой, то выполнение действий этапа 1 рассмотренного алгоритма метода потенциалов не требуется.

Исходная таблица метода потенциалов, необходимая для нахождения начального допустимого решения задачи и, будет иметь следующий вид таблица 2.

Для нахождения начального допустимого решения воспользуемся методом минимального элемента. Для этого в таблице 2. следует найти минимальное значение сij, которое равно 1. этому значению соответствует второй пункт производства и первый пункт потребления, при этом х21 = min{a2, b1 }=14. Из дальнейшего рассмотрения следует исключить второй пункт производства, а для первого пункта потребления определить новое значение b’=b1-a1=15-14=1.

Таблица 2 Исходная таблица для нахожденияначального допустимого решения

F(x)	V1	V2	V3 8,5	V4 5,5
u1
u2
u3

На следующем шаге метода минимального элемента в сокращенной таблице таблица 2 найдем минимальное значение сij, которое равно 3. Этому значению соответствует первый пункт производства и первый пункт потребления, при этом х11 = min{a1, b1 }=1. Из дальнейшего рассмотрения следует исключить первый пункт потребления, а для первого пункта производства определить новое значение a’=a1-b1=10-1=9.

Поступая аналогичным образом, в результате будет получено начальное допустимое решение транспортной задачи и, исходная таблица метода потенциалов которой будет иметь следующий вид таблица 3.

Таблица 3. Исходная таблица метода потенциалов с начальным допустимым решением

F(x)	V1	V2	V3 8,5	V4 5,5
u1
u2
U3			8,5	5,5

Непосредственной проверкой можно убедиться, что найденное начальное решение действительно является допустимым. Этому начальному решению соответствует значение целевой функции:

F(x)=3*1+1*14+5*9+8*3+12*8,5+7*5,5=226,5

После выполнения подготовительных этапов 1 и 2 метода потенциалов можно приступить к проверке условия получения оптимального решения (этап 3). Для этого необходимо найти потенциалы пунктов производства и потребления. Поскольку число заполненных ячеек исходной таблицы равно п+т-1=6, то искомая система должна содержать п+т=7 неизвестных для 6 уравнений. А именно, для определения значений потенциалов следует решить следующую систему уравнений: {v1+u1=3, v1+u2=1, v2+u1=5, v2+u3=8, v3+u3=12, v4+u3=7}, содержащую шесть уравнений с семью неизвестными. Поскольку число неизвестных превышает на единицу число уравнений, то одно из неизвестных можно положить равным произвольному числу, например v1=0. Далее можно найти последовательно из данной системы уравнений значения остальных неизвестных: v2=2, v3=6, v4=1, u1=3, u1=2, u3=6.

На этом действия этапа 3 заканчиваются, а найденные значения потенциалов записываются в исходную таблицу, которая на первой итерации алгоритма будет иметь следующий вид таблица 4.

Таблица 4. Таблица метода потенциалов на первой итерации

F(x)			8,5	5,5
			8,5	5,5

Для выполнения этапа 4 алгоритма по формуле необходимо последовательно рассчитать значения оценок для свободных ячеек:

7-3-6=-2, 4-1-2=1, 6-1-6=-1, 3-1-1=1, 5-6-0=-1. Поскольку среди оценок свободных ячеек имеются отрицательные, то условие (2.12) не выполняется, и найденное решение не является оптимальным, т.е. его можно улучшить.

Из всех выбирается наименьшее значение -2. Соответствующая свободная ячейка для помечается знаком (*), и для нее х13 в таблице метода потенциалов строится цикл содержащий занятые ячейки: х12, х32, х33. После этого следует перейти к выполнению действий этапа 5.

Таблица 5. Таблица метода потенциалов после выполнения первой итерации

F(x)=209,5	V1	V2	V3 8,5	V4 5,5
u1		0,5(-)	8,5(+)
u2
U3		11,5(+)	(-)	5,5

Поскольку ячейка для х13 имеет знак (+), то соседние с ней в цикле занятые ячейки х12 и х33 будут иметь знак (-). Следуя по правилу чередования знаков, оставшаяся ячейка х32 будет иметь знак (+). Наименьшее из чисел в минусовых ячейках равно 8,5.

Ячейка х33, в которой находится это число, становится свободной в новой таблице метода потенциалов. Другие значения ячеек цикла в новой таблице получаются следующим образом: новое значение в минусовой ячейке равно: , новое значение в плюсовой ячейке равно: .

В полученной таким образом новой таблице ячейка становится свободной. После выполненных на этапе 5 преобразований получаем новое допустимое решение транспортной задачи с лучшим значением целевой функции F(x)=209.5. Этому допустимому решению соответствует новая таблица метода потенциалов, которая имеет следующий вид, таблица 6.